Logo Media Nauka

Prawdopodobieństwo

Co to jest prawdopodobieństwo zdarzenia losowego? Przedstawimy tutaj dwie definicje prawdopodobieństwa.

Definicja Definicja aksjomatyczna

Nich zdarzenia A, B są podzbiorami jednego zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Prawdopodobieństwo określone w zbiorze Ω zajścia zdarzenia A jest to taka funkcja P, która każdemu zdarzeniu A przyporządkowuje liczbę P(A), która spełnia warunki:

  • 0≤P(A)≤1,
  • P(Ω)=1 (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1),
  • P(A∪B)=P(A)+P(B) (prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń wykluczających się jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń).

Definicja ta nie mówi jak obliczyć prawdopodobieństwo danego zdarzenia. Dlatego warto poznać następującą definicję prawdopodobieństwa:

DefinicjaKlasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli Ω jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i AΩ, to prawdopodobieństwo zdarzenia A nazywamy liczbę P(A) taką, że:

P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}

gdzie \overline{\overline{A}}, to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, a \overline{\overline{\Omega}} jest liczbą wszystkich zdarzeń elementarnych zbioru Ω.

Powyższy wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wykorzystamy w poniższych przykładach.

Przykłady

Oto kilka przykładów obliczania prawdopodobieństw:

Przykład Przykład

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek symetryczną kością do gry.

Ponieważ mamy do czynienia z kością symetryczną, to można przyjąć, że zdarzenia jednoelementowe ω (wyrzucenie jedynki - ω1, dwójki - ω2, itd.) są tak samo prawdopodobne. Określamy zbiór zdarzeń elementarnych:

\Omega=\lbrace \omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6 \rbrace \\ \overline{\overline{\Omega}}=6
A - zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu parzystej liczby oczek
A=\lbrace \omega_2,\omega_4,\omega_6 \rbrace \\ \overline{\overline{A}}=3

Obliczamy prawdopodobieństwo:
P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

Przykład Przykład

Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia trzy razy pod rząd reszki?

Przyjmujemy, że wyrzucenie orła (o) wyrzucenie reszki (r) jest tak samo prawdopodobne. Określamy zbiór zdarzeń elementarnych:

\Omega=\lbrace (o,o,o),(o,o,r),(o,r,o),(o,r,r),(r,o,o),(r,o,r),(r,r,o),(r,r,r) \rbrace\\ \overline{\overline{\Omega}}=8
A - zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu trzy razy pod rząd reszki
A=\lbrace (r,r,r) \rbrace\\ \overline{\overline{A}}=1

Obliczamy prawdopodobieństwo:

wzór

Pytania

Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania w lotto?

Odpowiedź brzmi:

P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{1}{13983816}

Zadanie to rozwiązujemy w jako przykładowe zadanie w artykule - Zastosowanie kombinatoryki do obliczania prawdopodobieństwa.


© medianauka.pl, 2011-08-11, ART-1412





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Prawdopodobieństwo

zadanie-ikonka Zadanie - prawdopodobieństwo
Losujemy dwie osoby z grupy osób, w której znajduje się 4 chłopaków i 3 dziewczyny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania pary dziewczyna i chłopak?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - prawdopodobieństwo
Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej dwa razy orła?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Prawdopodobieństwo
Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej 3 oczek symetryczną kością do gry.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 22, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

A. 0≤p<0,2
B. 0,2≤p≤0,35
C. 0,35<p≤0,5
D. 0,5<p≤1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 34, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 6, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.

Badane grupyLiczba osób popierających budowę przedszkolaLiczba osób niepopierających budowy przedszkola
Kobiety51401860
Mężczyźni2260740

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

      

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 25, matura 2015 (poziom podstawowy)
W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy:

A. p=1/4
B. p=3/8
C. p=1/2
D. p=2/3

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 33, matura 2015 (poziom podstawowy)
Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletówLiczba osób
ulgowe76
normalne41

Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 30, matura 2014
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Doświadczenie i zdarzenie losoweDoświadczenie i zdarzenie losowe
Co to jest doświadczenie losowe i zdarzenie losowe i zdarzenia elementarne?
Doświadczenie i zdarzenie losoweDoświadczenie i zdarzenie losowe
Co to jest doświadczenie losowe i zdarzenie losowe i zdarzenia elementarne?
Własności prawdopodobieństwaWłasności prawdopodobieństwa
Podstawowe twierdzenia o prawdopodobieństwach zdarzeń wraz z przykładami ich stosowania.
Zastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwaZastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwa
Przykłady z rachunku prawdopodobieństwa z wykorzystania elementów kombinatoryki.
Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowitePrawdopodobieństwo warunkowe i całkowite
Definicja prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.
Zdarzenia niezależneZdarzenia niezależne
Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, gdy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.
Schemat BernoulliegoSchemat Bernoulliego
Obliczanie prawdopodobieństwa w oparciu o schemat Bernoulliego
Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)
Kiedy przy obliczaniu prawdopodobieństwa można posłużyć się grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym.



© Media Nauka 2008-2018 r.