Prawdopodobieństwo

Co to jest prawdopodobieństwo zdarzenia losowego? Przedstawimy tutaj dwie definicje prawdopodobieństwa.

Definicja aksjomatyczna

Nich zdarzenia A, B są podzbiorami jednego zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Prawdopodobieństwo określone w zbiorze Ω zajścia zdarzenia A jest to taka funkcja P, która każdemu zdarzeniu A przyporządkowuje liczbę P(A), która spełnia warunki:

0≤P(A)≤1,
P(Ω)=1 (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1),
P(A∪B)=P(A)+P(B) (prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń wykluczających się jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń).

Definicja ta nie mówi jak obliczyć prawdopodobieństwo danego zdarzenia. Dlatego warto poznać następującą definicję prawdopodobieństwa:

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli Ω jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A⊂Ω, to prawdopodobieństwo zdarzenia A nazywamy liczbę P(A) taką, że:

$P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}$

gdzie $\overline{\overline{A}}$ , to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, a $\overline{\overline{\Omega}}$ jest liczbą wszystkich zdarzeń elementarnych zbioru Ω.

Powyższy wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wykorzystamy w poniższych przykładach.

Przykłady

Oto kilka przykładów obliczania prawdopodobieństw:

Przykład

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek symetryczną kością do gry.

Ponieważ mamy do czynienia z kością symetryczną, to można przyjąć, że zdarzenia jednoelementowe ω (wyrzucenie jedynki - ω₁, dwójki - ω₂, itd.) są tak samo prawdopodobne. Określamy zbiór zdarzeń elementarnych:

$\Omega=\lbrace \omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6 \rbrace \\ \overline{\overline{\Omega}}=6$
A - zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu parzystej liczby oczek
$A=\lbrace \omega_2,\omega_4,\omega_6 \rbrace \\ \overline{\overline{A}}=3$

Obliczamy prawdopodobieństwo:
$P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Przykład

Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia trzy razy pod rząd reszki?

Przyjmujemy, że wyrzucenie orła (o) wyrzucenie reszki (r) jest tak samo prawdopodobne. Określamy zbiór zdarzeń elementarnych:

$\Omega=\lbrace (o,o,o),(o,o,r),(o,r,o),(o,r,r),(r,o,o),(r,o,r),(r,r,o),(r,r,r) \rbrace\\ \overline{\overline{\Omega}}=8$
A - zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu trzy razy pod rząd reszki
$A=\lbrace (r,r,r) \rbrace\\ \overline{\overline{A}}=1$

Obliczamy prawdopodobieństwo:

Pytania

Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania w lotto?

Odpowiedź brzmi:

$P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{1}{13983816}$

Zadanie to rozwiązujemy w jako przykładowe zadanie w artykule - Zastosowanie kombinatoryki do obliczania prawdopodobieństwa.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

15/35
1/50
15/30
35/50

Rodzaj kupionych biletów	Liczba osób
ulgowe	76
normalne	41

Badane grupy	Liczba osób popierających budowę przedszkola	Liczba osób niepopierających budowy przedszkola
Kobiety	5140	1860
Mężczyźni	2260	740

Prawdopodobieństwo

Przykłady

Pytania

Zadania z rozwiązaniami

Powiązane quizy