Prawdopodobieństwo

Co to jest prawdopodobieństwo zdarzenia losowego? Przedstawimy tutaj dwie definicje prawdopodobieństwa.

Definicja aksjomatyczna

Nich zdarzenia \(A, B\) są podzbiorami jednego zbioru zdarzeń elementarnych \(\Omega\). Prawdopodobieństwo określone w zbiorze \(\Omega\) zajścia zdarzenia \(A\) jest to taka funkcja \(P\), która każdemu zdarzeniu \(A\) przyporządkowuje liczbę \(P(A)\), która spełnia warunki:

Definicja ta nie mówi jak obliczyć prawdopodobieństwo danego zdarzenia. Dlatego warto poznać następującą definicję prawdopodobieństwa:

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli \(\Omega\) jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i \(A\subset \Omega\), to prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) nazywamy liczbę \(P(A)\) taką, że:

\(P(A)=\frac{\overline{ \overline{A}}}{ \overline{ \overline{\Omega}}}\)

Oznaczenia: \(\overline{\overline{A}}\) jest to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, a \(\overline{\overline{\Omega}}\) jest liczbą wszystkich zdarzeń elementarnych zbioru \(\Omega\).

Powyższy wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wykorzystamy w poniższych przykładach.

Oto kilka przykładów jak obliczać klasyczne prawdopodobieństwo:

Przykład 1

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek symetryczną kością do gry.

Ponieważ mamy do czynienia z kością symetryczną, to można przyjąć, że zdarzenia jednoelementowe \(\omega\) (wyrzucenie jedynki — \(\omega_1\), dwójki — \(\omega_1\) itd.) są tak samo prawdopodobne. Określamy zbiór zdarzeń elementarnych:

\(\Omega=\lbrace \omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \rbrace\)

\(\overline{\overline{\Omega}}=6\)

\(A\) — zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu parzystej liczby oczek.

\(A=\lbrace \omega_2, \omega_4, \omega_6 \rbrace\)

\( \overline{\overline{A}}=3\)

Obliczamy prawdopodobieństwo klasyczne:

\(P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

Przykład 2

Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia trzy razy pod rząd reszki?

Przyjmujemy, że wyrzucenie orła (\(o\)) wyrzucenie reszki (\(r\)) jest tak samo prawdopodobne. Określamy zbiór zdarzeń elementarnych:

\(\Omega=\lbrace (o,o,o), (o,o,r), (o,r,o), (o,r,r), (r,o,o), (r,o,r), (r,r,o), (r,r,r) \rbrace\)

\(\overline{\overline{\Omega}}=8\)

\(A\) — zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu trzy razy pod rząd reszki.

\(A=\lbrace (r,r,r) \rbrace\\ \overline{\overline{A}}=1\)

Obliczamy prawdopodobieństwo:

\(P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{ \overline{\overline{\Omega}}} =\frac{1}{8}\)

Własności prawdopodobieństwa

W niniejszym artykule omówimy podstawowe własności prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo sumy

Przykład

Obliczyć prawdopodobieństwo wyjęcia asa lub karo z talii 52 kart.

Niech zdarzenie \(A\) oznacza wyciągnięcie asa, \(B\) — wyciągnięcie karo. Słowo „lub” użyte w treści zadania sugeruje, że musimy obliczyć prawdopodobieństwo \(P(A\cup B)\). Który wzór stosować? Zauważmy, że zdarzenia \(A, B\) nie wykluczają się nawzajem, gdyż as może być w kolorze karo. Określamy więc zdarzenie \(A\cap B\) oznaczające wylosowanie asa karo. Mamy więc:

  • \(P(A)=\frac{4}{52}\) — mamy w talii 52 kart 4 asy.
  • \(P(B)=\frac{13}{52}\) — mamy w talii 52 kart 13 kart w tym samym kolorze.
  • \(P(A\cap B)=\frac{1}{52}\) — mamy w talii 52 kart 1 asa karo.
  • Obliczamy szukane prawdopodobieństwo: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) = \frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}\).

Twierdzenie 1

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe różnicy liczby \(1\) i prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do \(A\):

\(P(A)=1-P(A')\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero.

\(P(\emptyset)=0\)

Przykłady

  • Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez 9 jest równe zero w rzucie kostką do gry.
  • Prawdopodobieństwo wyrzucenia wylosowania liczby 100 w lotto jest równe 0.

Twierdzenie 2

Jeżeli zdarzenie A pociąga zdarzenie B, to:

\(P(A)\leq P(B)\)

\(P(B\setminus A)=P(B)-P(A)\)

Pytania

Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego?

Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności.

Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania w lotto?

Odpowiedź brzmi:

\(P(A)=\frac{\overline{ \overline{A}}}{ \overline{ \overline{\Omega}}} =\frac{1}{13983816}\)

Zadanie to rozwiązujemy w jako przykładowe zadanie w artykule - Zastosowanie kombinatoryki do obliczania prawdopodobieństwa.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

  1. \(\frac{15}{35}\)
  2. \(\frac{1}{50}\)
  3. \(\frac{15}{30}\)
  4. \(\frac{35}{50}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Ze zbioru ośmiu liczb {2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(15\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Ze zbioru dziewięcioelementowego M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru M, których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa 4 lub 5, lub 6.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Z wierzchołków sześcianu \(ABCDEFGH\) losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu \(ABCDEFGH\), jest równe

A. \(\frac{1}{7}\)

B. \(\frac{4}{7}\)

C. \(\frac{1}{14}\)

D. \(\frac{3}{7}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe

A. \(\frac{1}{8}\)

B. \(\frac{1}{5}\)

C. \(\frac{1}{40}\)

D. \(\frac{1}{35}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Z liczb ośmioelementowego zbioru \(Z=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\rbrace\) tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy nie powtarzają się. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Dane są dwa zbiory: \(A = \lbrace 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\rbrace \) i \(B = \lbrace 10,11,12,13,14,15,16\rbrace \). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11.

Losujemy dwie osoby z grupy osób, w której znajduje się 4 chłopaków i 3 dziewczyny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania pary dziewczyna i chłopak?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Ze zbioru liczb \(\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\rbrace \) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o \(4\) lub \(6\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Jeżeli \(A\) jest zdarzeniem losowym, a \(A'\) zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia \(A\) oraz zachodzi równość \(P(A)=2P(A')\), to:

A. \(P(A)=\frac{2}{3}\)

B. \(P(A)=\frac{1}{2}\)

C. \(P(A)=\frac{1}{3}\)

D. \(P(A)=\frac{1}{6}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletówLiczba osób
ulgowe76
normalne41

Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy:

A. \(p=\frac{1}{4}\)

B. \(p=\frac{3}{8}\)

C. \(p=\frac{1}{2}\)

D. \(p=\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.

Badane grupyLiczba osób popierających budowę przedszkolaLiczba osób niepopierających budowy przedszkola
Kobiety51401860
Mężczyźni2260740

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

      

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

A. \(0\leq p<0,2\)

B. \(0,2\leq p\leq 0,35\)

C. \(0,35<p\leq 0,5\)

D. \(0,5<p\leq 1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19.

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej trzech oczek symetryczną kością do gry.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 20.

Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej dwa razy orła?

Pokaż rozwiązanie zadania.



Powiązane quizy

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo

Szkoła podstawowa
Klasa 8
Liczba pytań: 14




Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2011-08-11, A-1412
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-23



©® Media Nauka 2008-2023 r.