Prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja

Dany jest zbiór zdarzeń elementarnych Ω, zdarzenia losowe A, B, będące podzbiorami zbioru Ω i $P(B)\>0$ . Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B jest to stosunek prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń A i B do prawdopodobieństwa zdarzenia B. Definicję tę można wyrazić wzorem:

$P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Powyższy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe zastosujemy w przykładzie:

Przykład

Spośród 30 uczniów w klasie matematykę lubi 20 uczniów, fizykę 10 uczniów. Trzech uczniów lubi zarówno matematykę jak i fizykę. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowany uczeń lubi fizykę pod warunkiem, że lubi jednocześnie matematykę?

Losujemy jednego spośród 30 uczniów. Zbiór zdarzeń elementarnych ma więc 30 elementów.

A - wylosowany uczeń lubi fizykę, B - wylosowany uczeń lubi matematykę. Mamy:

$P(A)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\\ P(B)=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$

Iloczyn zdarzeń A i B oznacza takie zdarzenie, w którym uczeń lubi jednocześnie i matematykę i fizykę. Takich uczniów mamy 3. Mamy więc:

$P(A\cap B)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$

My szukamy innego prawdopodobieństwa. Losujemy najpierw ucznia i zakładamy, że lubi on matematykę i badamy jakie jest prawdopodobieństwo tego, że lubi jednocześnie fizykę. Czyli:

$P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{20}$

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie

Niech oznaczają zdarzenia losowe o dodatnich prawdopodobieństwach wykluczających się parami, a suma tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym. Dla dowolnego zdarzenia B zachodzi zależność: (prawdopodobieństwo zupełne lub całkowite).