Prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja Definicja

Dany jest zbiór zdarzeń elementarnych Ω, zdarzenia losowe A, B, będące podzbiorami zbioru Ω i P(B)\>0. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B jest to stosunek prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń A i B do prawdopodobieństwa zdarzenia B. Definicję tę można wyrazić wzorem:

P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Powyższy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe zastosujemy w przykładzie:

Przykład Przykład

Spośród 30 uczniów w klasie matematykę lubi 20 uczniów, fizykę 10 uczniów. Trzech uczniów lubi zarówno matematykę jak i fizykę. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowany uczeń lubi fizykę pod warunkiem, że lubi jednocześnie matematykę?

Losujemy jednego spośród 30 uczniów. Zbiór zdarzeń elementarnych ma więc 30 elementów.

A - wylosowany uczeń lubi fizykę, B - wylosowany uczeń lubi matematykę. Mamy:

P(A)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\\ P(B)=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}

Iloczyn zdarzeń A i B oznacza takie zdarzenie, w którym uczeń lubi jednocześnie i matematykę i fizykę. Takich uczniów mamy 3. Mamy więc:

P(A\cap B)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}

My szukamy innego prawdopodobieństwa. Losujemy najpierw ucznia i zakładamy, że lubi on matematykę i badamy jakie jest prawdopodobieństwo tego, że lubi jednocześnie fizykę. Czyli:

P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{20}

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie Twierdzenie

Niech A_1,...,A_n oznaczają zdarzenia losowe o dodatnich prawdopodobieństwach wykluczających się parami, a suma tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym. Dla dowolnego zdarzenia B zachodzi zależność: (prawdopodobieństwo zupełne lub całkowite).

P(B)=P(A_1)P(B/A_1)+...+P(A_n)P(B/A_n)



© medianauka.pl, 2011-08-12, ART-1415


Inne zagadnienia z tej lekcji

Doświadczenie i zdarzenie losoweDoświadczenie i zdarzenie losowe
Co to jest doświadczenie losowe i zdarzenie losowe i zdarzenia elementarne?
PrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwo
Definicja prawdopodobieństwa wraz z przykładami obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia losowego.
Własności prawdopodobieństwaWłasności prawdopodobieństwa
Podstawowe twierdzenia o prawdopodobieństwach zdarzeń wraz z przykładami ich stosowania.
Zastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwaZastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwa
Przykłady z rachunku prawdopodobieństwa z wykorzystania elementów kombinatoryki.
Zdarzenia niezależneZdarzenia niezależne
Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, gdy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.
Schemat BernoulliegoSchemat Bernoulliego
Obliczanie prawdopodobieństwa w oparciu o schemat Bernoulliego
Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)
Kiedy przy obliczaniu prawdopodobieństwa można posłużyć się grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym.



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.