Prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja

Dany jest zbiór zdarzeń elementarnych Ω, zdarzenia losowe A, B, będące podzbiorami zbioru Ω i $P(B)\>0$ . Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B jest to stosunek prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń A i B do prawdopodobieństwa zdarzenia B. Definicję tę można wyrazić wzorem:

$P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Powyższy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe zastosujemy w przykładzie:

Przykład

Spośród 30 uczniów w klasie matematykę lubi 20 uczniów, fizykę 10 uczniów. Trzech uczniów lubi zarówno matematykę jak i fizykę. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowany uczeń lubi fizykę pod warunkiem, że lubi jednocześnie matematykę?

Losujemy jednego spośród 30 uczniów. Zbiór zdarzeń elementarnych ma więc 30 elementów.

A - wylosowany uczeń lubi fizykę, B - wylosowany uczeń lubi matematykę. Mamy:

$P(A)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\\ P(B)=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$

Iloczyn zdarzeń A i B oznacza takie zdarzenie, w którym uczeń lubi jednocześnie i matematykę i fizykę. Takich uczniów mamy 3. Mamy więc:

$P(A\cap B)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$

My szukamy innego prawdopodobieństwa. Losujemy najpierw ucznia i zakładamy, że lubi on matematykę i badamy jakie jest prawdopodobieństwo tego, że lubi jednocześnie fizykę. Czyli:

$P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{20}$

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie

Niech oznaczają zdarzenia losowe o dodatnich prawdopodobieństwach wykluczających się parami, a suma tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym. Dla dowolnego zdarzenia B zachodzi zależność: (prawdopodobieństwo zupełne lub całkowite).

Inne zagadnienia z tej lekcji

Doświadczenie i zdarzenie losowe
Co to jest doświadczenie losowe i zdarzenie losowe i zdarzenia elementarne?

Prawdopodobieństwo
Definicja prawdopodobieństwa wraz z przykładami obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia losowego.

Własności prawdopodobieństwa
Podstawowe twierdzenia o prawdopodobieństwach zdarzeń wraz z przykładami ich stosowania.

Zastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwa
Przykłady z rachunku prawdopodobieństwa z wykorzystania elementów kombinatoryki.

Zdarzenia niezależne
Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, gdy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.

Schemat Bernoulliego
Obliczanie prawdopodobieństwa w oparciu o schemat Bernoulliego

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)
Kiedy przy obliczaniu prawdopodobieństwa można posłużyć się grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym.

Test wiedzy