Logo Media Nauka

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Teoria Gdy doświadczenie losowe jest wieloetapowe, a zdarzenia elementarne tworzą skomplikowany zbiór, można się wówczas przy obliczaniu prawdopodobieństwa posłużyć się grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym (probabilistycznym, prawdopodobieństwa). Krawędzie tego grafu odpowiadają zdarzeniom losowym, a wierzchołki poszczególnym etapom. Przy krawędziach zapisuje się prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń, których suma na krawędziach wchodzących w skład jednego wierzchołka jest równa 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez daną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanym krawędziom , z których składa się dana gałąź (reguła iloczynów). Natomiast prawdopodobieństwo danego zdarzenia losowego opisanego przez kilka gałęzi drzewa jest równa sumie prawdopodobieństw tych gałęzi (reguła sum).

Przykład Przykład

Z pudełka, w którym jest 6 cukierków czekoladowych i 4 krówki losujemy kolejno bez zwracania 2 cukierki. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:

a) 2 krówek b) 2 cukierków o różnych smakach?

Niech C - oznacza wylosowanie cukierka czekoladowego, K - krówki. Mamy tu dwa etapy: I - losujemy jednego cukierka, II -losujemy drugiego cukierka. Ponieważ nie zwracamy cukierków do pudełka po wylosowaniu mamy następujące drzewo stochastyczne:

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Jak obliczono poszczególne prawdopodobieństwa? W pudełku mamy 10 cukierków: 6 czekoladowych i 4 krówki. Prawdopodobieństwo wylosowania cukierka czekoladowego za pierwszym razem wynosi 6/10, natomiast krówki 4/10. Zostaje po pierwszym losowaniu już tylko 9 cukierków. A ile jest wśród nich krówek i czekoladowych? To zależy od tego, czy za pierwszym razem wylosowano krówkę, czy cukierka czekoladowego, stąd 4 różne przypadki.

a) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch krówek (zdarzenie A). Zobaczmy na nasze drzewko i zastosujmy regułę iloczynów:

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

P(A)=\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{12}{90}=\frac{4}{30}

a) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania cukierków o różnych smakach (zdarzenie B). Zobaczmy na nasze drzewko. Dwie gałęzie odpowiadają naszemu zdarzeniu. Obliczamy prawdopodobieństwo każdej z gałęzi i potem zastosujmy regułę sum:

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

P(B)=\frac{4}{10}\cdot \frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot \frac{4}{9}=\frac{24}{90}+\frac{24}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}


© medianauka.pl, 2011-08-13, ART-1418





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

zadanie-ikonka Zadanie - drzewo stochastyczne i prawdopodobieństwo
Z urny zawierającej 8 kul czarnych i 4 białych losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) dwóch takich samych kul,
b) dwóch różnych kul,
c) kuli białej, a potem czarnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - prawdopodobieństwo, drzewko stochastyczne
Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród wylosowanych trzech osób z klasy liczącej 25 osób znajduje się jedna dziewczyna i dwóch chłopców? W klasie jest 12 dziewcząt.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - prawdopodobieństwo, drzewko prawdopodobieństwa
Dwie firmy wyprodukowały łącznie 5000 butów, przy czym firma pierwsza wyprodukowała ich 2000. Wśród butów wyprodukowanych przez pierwszą firmę jest 80% sandałów, a przez drugą firmę 65% butów to sandały. Losujemy jedną parę butów. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania sandałów?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 11, matura 2015 (poziom rozszerzony)
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Doświadczenie i zdarzenie losoweDoświadczenie i zdarzenie losowe
Co to jest doświadczenie losowe i zdarzenie losowe i zdarzenia elementarne?
PrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwo
Definicja prawdopodobieństwa wraz z przykładami obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia losowego.
Własności prawdopodobieństwaWłasności prawdopodobieństwa
Podstawowe twierdzenia o prawdopodobieństwach zdarzeń wraz z przykładami ich stosowania.
Zastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwaZastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwa
Przykłady z rachunku prawdopodobieństwa z wykorzystania elementów kombinatoryki.
Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowitePrawdopodobieństwo warunkowe i całkowite
Definicja prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.
Zdarzenia niezależneZdarzenia niezależne
Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, gdy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.
Schemat BernoulliegoSchemat Bernoulliego
Obliczanie prawdopodobieństwa w oparciu o schemat Bernoulliego



© Media Nauka 2008-2018 r.