Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Gdy doświadczenie losowe jest wieloetapowe, a zdarzenia elementarne tworzą skomplikowany zbiór, można wówczas przy obliczaniu prawdopodobieństwa posłużyć się grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym (probabilistycznym, prawdopodobieństwa). Krawędzie tego grafu odpowiadają zdarzeniom losowym, a wierzchołki poszczególnym etapom. Przy krawędziach zapisuje się prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń, których suma na krawędziach wchodzących w skład jednego wierzchołka jest równa 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez daną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanym krawędziom, z których składa się dana gałąź (reguła iloczynów). Natomiast prawdopodobieństwo danego zdarzenia losowego opisanego przez kilka gałęzi drzewa jest równa sumie prawdopodobieństw tych gałęzi (reguła sum).

Przykład

Z pudełka, w którym jest 6 cukierków czekoladowych i 4 krówki losujemy kolejno bez zwracania 2 cukierki. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:

a) dwóch krówek.

b) dwóch cukierków o różnych smakach?

Niech \(C\) oznacza wylosowanie cukierka czekoladowego, \(K\) — krówki. Mamy tu dwa etapy: I — losujemy jednego cukierka, II — losujemy drugiego cukierka. Ponieważ nie zwracamy cukierków do pudełka po wylosowaniu, mamy następujące drzewo stochastyczne:

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Jak obliczono poszczególne prawdopodobieństwa? W pudełku mamy 10 cukierków: 6 czekoladowych i 4 krówki. Prawdopodobieństwo wylosowania cukierka czekoladowego za pierwszym razem wynosi \(\frac{6}{10}\), natomiast krówki \(\frac{4}{10}\). Zostaje po pierwszym losowaniu już tylko 9 cukierków. A ile jest wśród nich krówek i czekoladowych? To zależy od tego, czy za pierwszym razem wylosowano krówkę, czy cukierka czekoladowego, stąd 4 różne przypadki.

a) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch krówek (zdarzenie \(A\)). Zobaczmy na nasze drzewko i zastosujmy regułę iloczynów:

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

\(P(A)=\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{12}{90}=\frac{4}{30}\)

a) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania cukierków o różnych smakach (zdarzenie \(B\)). Zobaczmy na nasze drzewko. Dwie gałęzie odpowiadają naszemu zdarzeniu. Obliczamy prawdopodobieństwo każdej z gałęzi i potem zastosujmy regułę sum:

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

\(P(B)=\frac{4}{10}\cdot \frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot \frac{4}{9}=\frac{24}{90}+\frac{24}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}\)



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Z urny zawierającej 8 kul czarnych i 4 białych losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:

a) dwóch takich samych kul.

b) dwóch różnych kul.

c) kuli białej, a potem czarnej.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród wylosowanych trzech osób z klasy liczącej 25 osób znajduje się jedna dziewczyna i dwóch chłopców? W klasie jest 12 dziewcząt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Dwie firmy wyprodukowały łącznie 5000 butów, przy czym firma pierwsza wyprodukowała ich 2000. Wśród butów wyprodukowanych przez pierwszą firmę jest 80% sandałów, a przez drugą firmę 65% butów to sandały. Losujemy jedną parę butów. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania sandałów?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

W dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku: 2 kule białe i 3 kule czerwone, a w drugim pudełku: 1 kulę białą i 4 kule czerwone. Z pierwszego pudełka losujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku — losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

A. 2/15

B. 1/5

C. 4/5

D. 13/5

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

A. \(\frac{5}{14}\)

B. \(\frac{9}{14}\)

C. \(\frac{5}{7}\)

D. \(\frac{6}{7}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe \(\frac{1}{4}\). Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2011-08-13, A-1418



©® Media Nauka 2008-2023 r.