Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - drzewo stochastyczne i prawdopodobieństwo


Z urny zawierającej 8 kul czarnych i 4 białych losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) dwóch takich samych kul,
b) dwóch różnych kul,
c) kuli białej, a potem czarnej.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

drzewko prawdopodobieństwa - rysunek do zadania

a) A - wylosowano dwie takie same kule.

P(A)=\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}=\frac{14}{33}+\frac{3}{33}=\frac{17}{33}

b) B - wylosowano dwie różne kule.

P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{11}=\frac{8}{33}+\frac{8}{33}=\frac{16}{33}

c) C - kuli białą, a potem czarną.

P(C)=\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{11}=\frac{8}{33}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wprowadzamy następujące oznaczenia: B - wylosowano białą kulę, C - wylosowano czarną kulę. W doświadczeniu mamy dwa etapy, w pierwszym losujemy jedną kulę , w drugim - bez zwracania losujemy kolejną kulę. Wynik doświadczenia możemy przedstawić za pomocą drzewa stochastycznego. W urnie mamy łącznie 12 kul. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest więc równe 8/12=2/3, kuli białej: 4/12=1/3. W drugim etapie mamy już o jedną kulę mniej w zestawie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej lub białej zależy od wyniku etapu pierwszego. Mamy więc następujące drzewko:

drzewko prawdopodobieństwa - rysunek do zadania

a) A - wylosowano dwie takie same kule.

Zdarzeniu A sprzyjają zdarzenia polegające na wylosowaniu dwóch czarnych lub dwóch białych kul. Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek) i obliczamy:

drzewo stochastyczne - rysunek do zadania

Mnożymy prawdopodobieństwa każdej gałęzi i dodajemy do siebie wyniki:

P(A)=\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}=\frac{14}{33}+\frac{3}{33}=\frac{17}{33}

b) B - wylosowano dwie różne kule.

Zdarzeniu B sprzyjają zdarzenia polegające na wylosowaniu kuli czarnej i białej lub białej i czarnej. Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek) i obliczamy:

drzewo prawdopodobieństwa - rysunek

Mnożymy prawdopodobieństwa każdej gałęzi i dodajemy do siebie wyniki:

P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{11}=\frac{8}{33}+\frac{8}{33}=\frac{16}{33}

c) C - kuli białą, a potem czarną.

Zdarzeniu C sprzyjają jedno zdarzenie reprezentowane przez gałąź drzewa zaznaczoną na rysunku

drzewko prawdopodobieństwa - rysunek do zadania

Mnożymy prawdopodobieństwa zaznaczonej gałęzi:

P(C)=\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{11}=\frac{8}{33}

ksiązki Odpowiedź

P(A)=\frac{17}{33}\\ P(B)=\frac{16}{33}\\ P(C)=\frac{8}{33}

© medianauka.pl, 2011-09-19, ZAD-1462


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.