Strona główna » Matematyka » Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Zadanie - drzewo stochastyczne i prawdopodobieństwo

Z urny zawierającej 8 kul czarnych i 4 białych losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) dwóch takich samych kul,
b) dwóch różnych kul,
c) kuli białej, a potem czarnej.

Rozwiązanie zadania uproszczone

drzewko prawdopodobieństwa - rysunek do zadania

a) A - wylosowano dwie takie same kule.

$P(A)=\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}=\frac{14}{33}+\frac{3}{33}=\frac{17}{33}$

b) B - wylosowano dwie różne kule.

$P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{11}=\frac{8}{33}+\frac{8}{33}=\frac{16}{33}$

c) C - kuli białą, a potem czarną.

$P(C)=\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{11}=\frac{8}{33}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wprowadzamy następujące oznaczenia: B - wylosowano białą kulę, C - wylosowano czarną kulę. W doświadczeniu mamy dwa etapy, w pierwszym losujemy jedną kulę , w drugim - bez zwracania losujemy kolejną kulę. Wynik doświadczenia możemy przedstawić za pomocą drzewa stochastycznego. W urnie mamy łącznie 12 kul. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest więc równe 8/12=2/3, kuli białej: 4/12=1/3. W drugim etapie mamy już o jedną kulę mniej w zestawie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej lub białej zależy od wyniku etapu pierwszego. Mamy więc następujące drzewko:

a) A - wylosowano dwie takie same kule.

Zdarzeniu A sprzyjają zdarzenia polegające na wylosowaniu dwóch czarnych lub dwóch białych kul. Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek) i obliczamy:

drzewo stochastyczne - rysunek do zadania

Mnożymy prawdopodobieństwa każdej gałęzi i dodajemy do siebie wyniki:

$P(A)=\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{11}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}=\frac{14}{33}+\frac{3}{33}=\frac{17}{33}$

b) B - wylosowano dwie różne kule.

Zdarzeniu B sprzyjają zdarzenia polegające na wylosowaniu kuli czarnej i białej lub białej i czarnej. Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek) i obliczamy: