Strona główna » Matematyka » Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Zadanie maturalne nr 11, matura 2015 (poziom rozszerzony)

W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Rozwiązanie zadania

Nasze doświadczenie losowe jest wieloetapowe, a zdarzenia elementarne tworzą dość skomplikowany zbiór. Możemy przy obliczaniu prawdopodobieństwa posłużyć się drzewem stochastycznym.

drzewo stochastyczne

W pierwszym losowaniu w pierwszej urnie mamy 8 kul, z czego 3 są białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 3/8, natomiast czarnej 5/8. W urnie drugiej mamy 7 kul białych i 2 czarne, co daje razem 9 kul. Dokładamy jedną kulę wylosowaną i dwie dodatkowe tego samego koloru. W sumie w urnie drugiej znajduje się teraz 12 kul. Ich kolor zależny od tego, jaką kule wylosowaliśmy wcześniej. Losujemy teraz pierwszą kulę z drugiej urny. W przypadku, gdy wcześniej wylosowaliśmy kulę białą, mamy teraz w urnie drugiej 10 kul białych i 2 czarne. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 10/12. Losujemy kulę drugą. W urnie zostało już 11 kul, z czego tylko 9 białych. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi teraz 9/11.

Podobne rozumowanie przeprowadzamy w przypadku, gdy z pierwszej urny wyjęto kulę czarną. Mamy wówczas 12 kul, z czego tylko 7 białych (prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi teraz 7/12), po czym przy wyjmowaniu kuli drugiej - 6/11.

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie wylosowane kule z urny drugiej są białe.

$P(A)=\frac{3}{8}\cdot \frac{10}{12}\cdot \frac{9}{11}\cdot + \frac{5}{8}\cdot \frac{7}{12}\cdot \frac{6}{11}=\frac{45}{176}+\frac{35}{176}=\frac{80}{176}=\frac{5}{11}$