Nauka » Matematyka » Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Zadanie maturalne nr 11, matura 2015 (poziom rozszerzony)

W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Rozwiązanie zadania

Nasze doświadczenie losowe jest wieloetapowe, a zdarzenia elementarne tworzą dość skomplikowany zbiór. Możemy przy obliczaniu prawdopodobieństwa posłużyć się drzewem stochastycznym.

drzewo stochastyczne

W pierwszym losowaniu w pierwszej urnie mamy 8 kul, z czego 3 są białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 3/8, natomiast czarnej 5/8. W urnie drugiej mamy 7 kul białych i 2 czarne, co daje razem 9 kul. Dokładamy jedną kulę wylosowaną i dwie dodatkowe tego samego koloru. W sumie w urnie drugiej znajduje się teraz 12 kul. Ich kolor zależny od tego, jaką kule wylosowaliśmy wcześniej. Losujemy teraz pierwszą kulę z drugiej urny. W przypadku, gdy wcześniej wylosowaliśmy kulę białą, mamy teraz w urnie drugiej 10 kul białych i 2 czarne. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 10/12. Losujemy kulę drugą. W urnie zostało już 11 kul, z czego tylko 9 białych. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi teraz 9/11.

Podobne rozumowanie przeprowadzamy w przypadku, gdy z pierwszej urny wyjęto kulę czarną. Mamy wówczas 12 kul, z czego tylko 7 białych (prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi teraz 7/12), po czym przy wyjmowaniu kuli drugiej - 6/11.

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie wylosowane kule z urny drugiej są białe.

$P(A)=\frac{3}{8}\cdot \frac{10}{12}\cdot \frac{9}{11}\cdot + \frac{5}{8}\cdot \frac{7}{12}\cdot \frac{6}{11}=\frac{45}{176}+\frac{35}{176}=\frac{80}{176}=\frac{5}{11}$

Odpowiedź

P(A)=5/11

Zadania podobne

Zadanie - drzewo stochastyczne i prawdopodobieństwo
Z urny zawierającej 8 kul czarnych i 4 białych losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) dwóch takich samych kul,
b) dwóch różnych kul,
c) kuli białej, a potem czarnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - prawdopodobieństwo, drzewko stochastyczne
Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród wylosowanych trzech osób z klasy liczącej 25 osób znajduje się jedna dziewczyna i dwóch chłopców? W klasie jest 12 dziewcząt.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - prawdopodobieństwo, drzewko prawdopodobieństwa
Dwie firmy wyprodukowały łącznie 5000 butów, przy czym firma pierwsza wyprodukowała ich 2000. Wśród butów wyprodukowanych przez pierwszą firmę jest 80% sandałów, a przez drugą firmę 65% butów to sandały. Losujemy jedną parę butów. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania sandałów?

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.