Nauka » Matematyka » Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Zadanie - prawdopodobieństwo, drzewko stochastyczne

Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród wylosowanych trzech osób z klasy liczącej 25 osób znajduje się jedna dziewczyna i dwóch chłopców? W klasie jest 12 dziewcząt.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$P(A)=\frac{12}{25}\cdot \frac{13}{24}\cdot \frac{12}{23}+\frac{13}{25}\cdot \frac{12}{24}\cdot \frac{12}{23}+\frac{13}{25}\cdot \frac{12}{24}\cdot \frac{12}{23}=\frac{5616}{13800}\approx 0,41$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doświadczenie losowania trzech osób w klasie możemy podzielić na trzy etapy, w których losujemy po jednej osobie (bez zwracania). Wprowadzamy następujące oznaczenia: d - wylosowano dziewczynę, c - wylosowano chłopaka. Wynik doświadczenia możemy przedstawić za pomocą drzewa stochastycznego. W klasie mamy łącznie 25 uczniów: 12 dziewcząt i 13 chłopców. Prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny jest więc równe 12/25, chłopca: 13/25. W drugim etapie mamy już o jednego ucznia mniej do dyspozycji. Prawdopodobieństwo wylosowania chłopca lub dziewczyny zależy od wyniku etapu pierwszego. Mamy więc następujące drzewko:

Przez A oznaczymy zdarzenie wylosowania jednej dziewczyny i dwóch chłopców.

Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek, zaznaczono tam gałęzie gdzie jest jedno zdarzenie d i dwa c) i obliczamy:

drzewko prawdopodobieństwa - rozwiązanie graficzne zadania

Mnożymy prawdopodobieństwa każdej gałęzi i dodajemy do siebie wyniki:

$P(A)=\frac{12}{25}\cdot \frac{13}{24}\cdot \frac{12}{23}+\frac{13}{25}\cdot \frac{12}{24}\cdot \frac{12}{23}+\frac{13}{25}\cdot \frac{12}{24}\cdot \frac{12}{23}=\frac{1872}{13800}+\frac{1872}{13800}+\frac{1872}{13800}=\frac{5616}{13800}\approx 0,41$

Odpowiedź

$P(A)\approx 0,41$

Zadania podobne

Zadanie - drzewo stochastyczne i prawdopodobieństwo
Z urny zawierającej 8 kul czarnych i 4 białych losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) dwóch takich samych kul,
b) dwóch różnych kul,
c) kuli białej, a potem czarnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - prawdopodobieństwo, drzewko prawdopodobieństwa
Dwie firmy wyprodukowały łącznie 5000 butów, przy czym firma pierwsza wyprodukowała ich 2000. Wśród butów wyprodukowanych przez pierwszą firmę jest 80% sandałów, a przez drugą firmę 65% butów to sandały. Losujemy jedną parę butów. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania sandałów?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2015 (poziom rozszerzony)
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 8, matura 2017 (poziom rozszerzony)
W dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku: 2 kule białe i 3 kule czerwone, a w drugim pudełku: 1 kulę białą i 4 kule czerwone. Z pierwszego pudełka losujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2020

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2020 - poziom rozszerzony

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku — losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

A. 2/15

B. 1/5

C. 4/5

D. 13/5

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.