Nauka » Matematyka » Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Zadanie - prawdopodobieństwo, drzewko prawdopodobieństwa

Dwie firmy wyprodukowały łącznie 5000 butów, przy czym firma pierwsza wyprodukowała ich 2000. Wśród butów wyprodukowanych przez pierwszą firmę jest 80% sandałów, a przez drugą firmę 65% butów to sandały. Losujemy jedną parę butów. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania sandałów?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$P(A)=\frac{2}{5}\cdot \frac{4}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{13}{20}=\frac{8}{25}+\frac{39}{100}=\frac{71}{100}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doświadczenie losowania butów możemy podzielić na dwa etapy. Ponieważ udział liczby sandałów w całej produkcji obu firm jest różny, na dodatek wiemy jaki, to etapy pozwalają nam określić prawdopodobieństwo wylosowania sandałów w obu firmach. Wprowadzamy następujące oznaczenia:

F1- wylosowano buty z wyprodukowane przez pierwszą firmę
F2- wylosowano buty z wyprodukowane przez drugą firmę
s- wylosowano sandały
i- wylosowano inne buty

Prawdopodobieństwo wylosowania butów z pierwszej firmy wynosi 2000/5000=2/5, z drugiej firmy: 3000/5000=3/5. W pierwszej firmie prawdopodobieństwo wylosowania sandałów wynosi 80/100=8/10=4/5, w drugiej firmie prawdopodobieństwo wylosowania sandałów wynosi 65/100=13/20. Mamy więc następujące drzewko:

Przez A oznaczymy zdarzenie wylosowania sandałów.

Odczytujemy prawdopodobieństwa z odpowiednich gałęzi drzewa (patrz rysunek) i obliczamy:

drzewo prawopodobieństwa - rozwiązanie zadania

Mnożymy prawdopodobieństwa każdej gałęzi i dodajemy do siebie wyniki:

$P(A)=\frac{2}{5}\cdot \frac{4}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{13}{20}=\frac{8}{25}+\frac{39}{100}=\frac{32}{100}+\frac{39}{100}=\frac{71}{100}$

Odpowiedź

Zadania podobne

Zadanie - drzewo stochastyczne i prawdopodobieństwo
Z urny zawierającej 8 kul czarnych i 4 białych losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) dwóch takich samych kul,
b) dwóch różnych kul,
c) kuli białej, a potem czarnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - prawdopodobieństwo, drzewko stochastyczne
Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród wylosowanych trzech osób z klasy liczącej 25 osób znajduje się jedna dziewczyna i dwóch chłopców? W klasie jest 12 dziewcząt.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2015 (poziom rozszerzony)
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Pokaż rozwiązanie zadania