Schemat Bernoulliego

Próby Bernoulliego

Niezależne próby nazywamy próbami Bernoulliego, gdy:

każda próba może się zakończyć jednym z dwóch wyników: sukcesem lub porażką,
prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest takie samo.

Przykład

Przykłady prób Bernoulliego:

rzut monetą: sukces - wyrzucenie orła, porażka - reszki,
rzut kością:sukces - wyrzucenie 6-ciu oczek, porażka - nie wyrzucenie 6-ciu oczek,
losowanie sztuk towaru ze zwracaniem: sukces - wylosowano dobry produkt, porażka - wylosowano wadliwy produkt,
obserwacja płci noworodków: sukces - płeć żeńska, porażka - płeć męska.

Nazwanie danego zdarzenia sukcesem lub porażką jest kwestią umowną, zależną od warunku zadania.

Nie każde doświadczenie jest próbą Bernoulliego. Dla przykładu losowanie bez zwracania na przykład kuli z urny nie można uznać za próbę Bernoulliego, gdyż prawdopodobieństwo sukcesu w każdym losowaniu jest tutaj inne.

Definicja

Schemat n prób Bernoulliego jest to ciąg n niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego, przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyniku poprzednich i nie wpływa na wynik następnych prób.

Przykład

Przykłady schematów Bernoulliego:

n-krotne strzelanie do celu,
n-krotny rzut kostką,
n-krotny dwukrotny rzut monetą.

Twierdzenie

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w schemacie Bernoulliego o n próbach sukces pojawi się dokładnie k razy ( $P(S_n=k), \ 0\leq k\leq n$ ) określone jest wzorem:

$P(S_n=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}\\ p+q=1$

p - prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie,
q - prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie.

Przykład

Prawdopodobieństwo trafienia strzałą w balonik wynosi 1/3. Do celu oddano 10 strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafiono:

a) 2 razy,
b) co najmniej raz,
c) co najwyżej raz.

Przez sukces rozumiemy trafienie do celu w pojedynczym strzale. Mamy więc: $p=\frac{1}{3},\ q=\frac{2}{3}$ , natomiast $S_{10}$ oznacza liczbę celnych strzałów spośród 10 strzałów. Mamy więc:

a) $P(S_{10}=2)={10\choose 2}(\frac{1}{3})^2\cdot (\frac{2}{3})^8=\frac{10!}{2!8!}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{2^8}{3^8}= \frac{8!\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 8!}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{2^8}{3^8}=5\cdot \frac{256}{6561} \approx 0,195$

b) Przy obliczaniu prawdopodobieństwa trafienia co najmniej raz, skorzystamy z własności ogólnej prawdopodobieństwa, że prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe różnicy liczby 1 i prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do A:

$P(S_{10}\geq 1)=1-P(S_{10}\leq 1)=1-P(S_{10}=0)=1-{10\choose 0}(\frac{1}{3})^0\cdot (\frac{2}{3})^{10}=\\ =1-\frac{10!}{0!10!}\cdot 1 \cdot \frac{2^{10}}{3^{10}}=1- \frac{1024}{59049} \approx 0,98$

c) Trafienie co najwyżej raz oznacza trafienie raz lub zero razy.
$P(S_{10}\leq 1)=P(S_{10}=0)+P(S_{10}=1)=\frac{1024}{59049}+{10\choose 1}(\frac{1}{3})^1\cdot (\frac{2}{3})^9=\\ =\frac{1024}{59049}+\frac{10!}{1!9!}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2^9}{3^9}=\frac{1024}{59049}+\frac{5120}{59049}=\frac{6144}{59049}\approx 0,1$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

W meczu piłki nożnej prawdopodobieństwo zdobycia przez zawodnika bramki z rzutu karnego wynosi 0,85. Zawodnik wykonuje 6 rzutów karnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdobędzie on:
a) 4 bramki,
b) co najmniej 5 bramek,
c) mniej niż 3 bramki?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

W pudełku jest 5 krówek i 4 irysy. Losujemy 5 razy po dwa cukierki i za każdym razem zwracamy je do pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3 razy wylosujemy różne cukierki?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Co to jest doświadczenie losowe i zdarzenie losowe i zdarzenia elementarne?

Własności prawdopodobieństwa

Podstawowe twierdzenia o prawdopodobieństwach zdarzeń wraz z przykładami ich stosowania.

Zastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwa

Przykłady z rachunku prawdopodobieństwa z wykorzystania elementów kombinatoryki.

Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.

Zdarzenia niezależne

Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, gdy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Kiedy przy obliczaniu prawdopodobieństwa można posłużyć się grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.