Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Schemat Bernoulliego

Próby Bernoulliego

Teoria Niezależne próby nazywamy próbami Bernoulliego, gdy:

  • każda próba może się zakończyć jednym z dwóch wyników: sukcesem lub porażką,
  • prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest takie samo.

Przykład Przykład

Przykłady prób Bernoulliego:

  • rzut monetą: sukces - wyrzucenie orła, porażka - reszki,
  • rzut kością:sukces - wyrzucenie 6-ciu oczek, porażka - nie wyrzucenie 6-ciu oczek,
  • losowanie sztuk towaru ze zwracaniem: sukces - wylosowano dobry produkt, porażka - wylosowano wadliwy produkt,
  • obserwacja płci noworodków: sukces - płeć żeńska, porażka - płeć męska.

Nazwanie danego zdarzenia sukcesem lub porażką jest kwestią umowną, zależną od warunku zadania.

Nie każde doświadczenie jest próbą Bernoulliego. Dla przykładu losowanie bez zwracania na przykład kuli z urny nie można uznać za próbę Bernoulliego, gdyż prawdopodobieństwo sukcesu w każdym losowaniu jest tutaj inne.

Definicja Definicja

Schemat n prób Bernoulliego jest to ciąg n niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego, przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyniku poprzednich i nie wpływa na wynik następnych prób.

Przykład Przykład

Przykłady schematów Bernoulliego:

  • n-krotne strzelanie do celu,
  • n-krotny rzut kostką,
  • n-krotny dwukrotny rzut monetą.

Twierdzenie Twierdzenie

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w schemacie Bernoulliego o n próbach sukces pojawi się dokładnie k razy (P(S_n=k), \ 0\leq k\leq n) określone jest wzorem:

P(S_n=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}\\ p+q=1
  • p - prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie,
  • q - prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie.

Przykład Przykład

Prawdopodobieństwo trafienia strzałą w balonik wynosi 1/3. Do celu oddano 10 strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafiono:

a) 2 razy,
b) co najmniej raz,
c) co najwyżej raz.

Przez sukces rozumiemy trafienie do celu w pojedynczym strzale. Mamy więc: p=\frac{1}{3},\ q=\frac{2}{3}, natomiast S_{10} oznacza liczbę celnych strzałów spośród 10 strzałów. Mamy więc:

a) P(S_{10}=2)={10\choose 2}(\frac{1}{3})^2\cdot (\frac{2}{3})^8=\frac{10!}{2!8!}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{2^8}{3^8}= \frac{8!\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 8!}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{2^8}{3^8}=5\cdot \frac{256}{6561} \approx 0,195

b) Przy obliczaniu prawdopodobieństwa trafienia co najmniej raz, skorzystamy z własności ogólnej prawdopodobieństwa, że prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe różnicy liczby 1 i prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do A:

P(S_{10}\geq 1)=1-P(S_{10}\leq 1)=1-P(S_{10}=0)=1-{10\choose 0}(\frac{1}{3})^0\cdot (\frac{2}{3})^{10}=\\ =1-\frac{10!}{0!10!}\cdot 1 \cdot \frac{2^{10}}{3^{10}}=1- \frac{1024}{59049} \approx 0,98

c) Trafienie co najwyżej raz oznacza trafienie raz lub zero razy.
P(S_{10}\leq 1)=P(S_{10}=0)+P(S_{10}=1)=\frac{1024}{59049}+{10\choose 1}(\frac{1}{3})^1\cdot (\frac{2}{3})^9=\\ =\frac{1024}{59049}+\frac{10!}{1!9!}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2^9}{3^9}=\frac{1024}{59049}+\frac{5120}{59049}=\frac{6144}{59049}\approx 0,1


© medianauka.pl, 2011-08-13, ART-1417






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - schemat Bernoulliego
W meczu piłki nożnej prawdopodobieństwo zdobycia przez zawodnika bramki z rzutu karnego wynosi 0,85. Zawodnik wykonuje 6 rzutów karnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdobędzie on:
a) 4 bramki,
b) co najmniej 5 bramek,
c) mniej niż 3 bramki?

zadanie-ikonka Zadanie - schemat Bernoulliego
W pudełku jest 5 krówek i 4 irysy. Losujemy 5 razy po dwa cukierki i za każdym razem zwracamy je do pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3 razy wylosujemy różne cukierki?




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.