Schemat Bernoulliego
Próby Bernoulliego
Niezależne próby nazywamy próbami Bernoulliego, gdy:
- każda próba może się zakończyć jednym z dwóch wyników: sukcesem lub porażką,
- prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest takie samo.
Przykład
Przykłady prób Bernoulliego:
- rzut monetą: sukces - wyrzucenie orła, porażka - reszki,
- rzut kością:sukces - wyrzucenie 6-ciu oczek, porażka - nie wyrzucenie 6-ciu oczek,
- losowanie sztuk towaru ze zwracaniem: sukces - wylosowano dobry produkt, porażka - wylosowano wadliwy produkt,
- obserwacja płci noworodków: sukces - płeć żeńska, porażka - płeć męska.
Nazwanie danego zdarzenia sukcesem lub porażką jest kwestią umowną, zależną od warunku zadania.
Nie każde doświadczenie jest próbą Bernoulliego. Dla przykładu losowanie bez zwracania na przykład kuli z urny nie można uznać za próbę Bernoulliego, gdyż prawdopodobieństwo sukcesu w każdym losowaniu jest tutaj inne.
Definicja
Schemat n prób Bernoulliego jest to ciąg n niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego, przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyniku poprzednich i nie wpływa na wynik następnych prób.
Przykład
Przykłady schematów Bernoulliego:
- n-krotne strzelanie do celu,
- n-krotny rzut kostką,
- n-krotny dwukrotny rzut monetą.
Twierdzenie
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w schemacie Bernoulliego o n próbach sukces pojawi się dokładnie k razy () określone jest wzorem:

- p - prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie,
- q - prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie.
Przykład
Prawdopodobieństwo trafienia strzałą w balonik wynosi 1/3. Do celu oddano 10 strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafiono:
a) 2 razy,
b) co najmniej raz,
c) co najwyżej raz.
Przez sukces rozumiemy trafienie do celu w pojedynczym strzale. Mamy więc: , natomiast
oznacza liczbę celnych strzałów spośród 10 strzałów. Mamy więc:
a)
b) Przy obliczaniu prawdopodobieństwa trafienia co najmniej raz, skorzystamy z własności ogólnej prawdopodobieństwa, że prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe różnicy liczby 1 i prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do A:
c) Trafienie co najwyżej raz oznacza trafienie raz lub zero razy.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
W meczu piłki nożnej prawdopodobieństwo zdobycia przez zawodnika bramki z rzutu karnego wynosi 0,85. Zawodnik wykonuje 6 rzutów karnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdobędzie on:a) 4 bramki,
b) co najmniej 5 bramek,
c) mniej niż 3 bramki?
Zadanie nr 2.
W pudełku jest 5 krówek i 4 irysy. Losujemy 5 razy po dwa cukierki i za każdym razem zwracamy je do pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3 razy wylosujemy różne cukierki?Inne zagadnienia z tej lekcji
Doświadczenie i zdarzenie losowe

Co to jest doświadczenie losowe i zdarzenie losowe i zdarzenia elementarne?
Własności prawdopodobieństwa

Podstawowe twierdzenia o prawdopodobieństwach zdarzeń wraz z przykładami ich stosowania.
Zastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwa

Przykłady z rachunku prawdopodobieństwa z wykorzystania elementów kombinatoryki.
Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.
Zdarzenia niezależne

Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, gdy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.
Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Kiedy przy obliczaniu prawdopodobieństwa można posłużyć się grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym.
© medianauka.pl, 2011-08-13, A-1417