logo

Zadanie - schemat Bernoulliego


W meczu piłki nożnej prawdopodobieństwo zdobycia przez zawodnika bramki z rzutu karnego wynosi 0,85. Zawodnik wykonuje 6 rzutów karnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdobędzie on:
a) 4 bramki,
b) co najmniej 5 bramek,
c) mniej niż 3 bramki?

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a)P(S_6=4)={6 \choose 4}\cdot (\frac{17}{20})^4\cdot (\frac{3}{20})^{(6-4)}=\frac{6!}{4!2!}\cdot \frac{17^4}{20^4}\cdot \frac{3^2}{20^2}=15\cdot \frac{83521}{160000}\cdot \frac{9}{400}\approx 0,176
b) P(S_6\geq 5)=P(S_6=5)+P(S_6=6)=\\ ={6 \choose 5}\cdot (\frac{17}{20})^5\cdot (\frac{3}{20})^1+{6 \choose 6}\cdot (\frac{17}{20})^6\cdot (\frac{3}{20})^0\approx 0,399+0,377=0,776
c)P(S_6< 3)=P(S_6=0)+P(S_6=1)+P(S_6=2)=\\ ={6 \choose 0}\cdot (\frac{17}{20})^0\cdot (\frac{3}{20})^6+{6 \choose 1}\cdot (\frac{17}{20})^1\cdot (\frac{3}{20})^5+{6 \choose 2}\cdot (\frac{17}{20})^2\cdot (\frac{3}{20})^4\approx 0,00588

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Każda próba polega na zdobyciu gola (sukces) lub nie (porażka) i prawdopodobieństwo sukcesu w każdym strzale jest takie samo. Kolejny wynik nie wpływa na wynik poprzedni i następny, więc mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego o sześciu próbach.

Jeżeli n oznacza liczbę prób, p - prawdopodobieństwo sukcesu, q- prawdopodobieństwo porażki, to mamy:

n=6\\ p=0,92=\frac{85}{100}=\frac{17}{20}\\ q=1-p=\frac{3}{20}

Korzystamy ze wzoru:

P(S_n=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}\\ p+q=1

Mamy więc:

a) piłkarz zdobędzie 4 bramki

P(S_6=4)={6 \choose 4}\cdot (\frac{17}{20})^4\cdot (\frac{3}{20})^{(6-4)}=\frac{6!}{4!2!}\cdot \frac{17^4}{20^4}\cdot \frac{3^2}{20^2}=\\ =\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!\cdot 2}\cdot \frac{83521}{160000}\cdot \frac{9}{400}=15\cdot \frac{83521}{160000}\cdot \frac{9}{400}=\frac{11275335}{64000000}\approx 0,176

b) Piłkarz zdobędzie co najmniej 5 bramek

Co najmniej 5 bramek oznacza, że piłkarz może zdobyć 5 lub 6 bramek. Mamy więc:

P(S_6\geq 5)=P(S_6=5)+P(S_6=6)=\\ ={6 \choose 5}\cdot (\frac{17}{20})^5\cdot (\frac{3}{20})^1+{6 \choose 6}\cdot (\frac{17}{20})^6\cdot (\frac{3}{20})^0=\\=\frac{6!}{5!1!}\cdot \frac{17^5}{20^5}\cdot \frac{3}{20}+1\cdot \frac{17^6}{20^6}\cdot 1=\frac{5!\cdot 6}{5!\cdot 1}\cdot \frac{17^5}{20^5}\cdot \frac{3}{20}+\frac{17^6}{20^6}\approx 0,399+0,377=0,776

c) Piłkarz zdobędzie mniej niż 3 bramki

Mniej niż 3 bramki oznacza, że piłkarz może zdobyć 0,1 lub 2 bramki. Mamy więc:

P(S_6< 3)=P(S_6=0)+P(S_6=1)+P(S_6=2)=\\ ={6 \choose 0}\cdot (\frac{17}{20})^0\cdot (\frac{3}{20})^6+{6 \choose 1}\cdot (\frac{17}{20})^1\cdot (\frac{3}{20})^5+{6 \choose 2}\cdot (\frac{17}{20})^2\cdot (\frac{3}{20})^4=\\ =1\cdot 1\cdot \frac{3^6}{20^6}+\frac{6!}{5!}\cdot \frac{17}{20}\cdot \frac{3^5}{20^5}+\frac{6!}{2!4!}\cdot \frac{17^2}{20^2}\cdot \frac{3^4}{20^4}=\\ =\frac{3^6+6\cdot 17\cdot 3^5+17^2\cdot 3^4\cdot 15}{20^6}=\frac{376650}{64000000}\approx 0,00588

ksiązki Odpowiedź

a)P(S_6=4)\approx 0,176\\ b)P(S_6\geq 5)\approx 0,776\\ c)P(S_6<3)\approx 0,006

© medianauka.pl, 2011-10-02, ZAD-1476

Zadania podobne

kulkaZadanie - schemat Bernoulliego
W pudełku jest 5 krówek i 4 irysy. Losujemy 5 razy po dwa cukierki i za każdym razem zwracamy je do pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3 razy wylosujemy różne cukierki?

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

kolorowe skarpetki matematyka
BrainBox - Matematyka dla najmłodszych
kolorowe skarpetki góra lodowa
Kolorowe skarpetki 3D
Liczby, ich dzieje, rodzaje, własności
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.