Strona główna » Matematyka » Schemat Bernoulliego

Zadanie - schemat Bernoulliego

W meczu piłki nożnej prawdopodobieństwo zdobycia przez zawodnika bramki z rzutu karnego wynosi 0,85. Zawodnik wykonuje 6 rzutów karnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdobędzie on:
a) 4 bramki,
b) co najmniej 5 bramek,
c) mniej niż 3 bramki?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a)P(S_6=4)={6 \choose 4}\cdot (\frac{17}{20})^4\cdot (\frac{3}{20})^{(6-4)}=\frac{6!}{4!2!}\cdot \frac{17^4}{20^4}\cdot \frac{3^2}{20^2}=15\cdot \frac{83521}{160000}\cdot \frac{9}{400}\approx 0,176$
$b) P(S_6\geq 5)=P(S_6=5)+P(S_6=6)=\\ ={6 \choose 5}\cdot (\frac{17}{20})^5\cdot (\frac{3}{20})^1+{6 \choose 6}\cdot (\frac{17}{20})^6\cdot (\frac{3}{20})^0\approx 0,399+0,377=0,776$
$c)P(S_6< 3)=P(S_6=0)+P(S_6=1)+P(S_6=2)=\\ ={6 \choose 0}\cdot (\frac{17}{20})^0\cdot (\frac{3}{20})^6+{6 \choose 1}\cdot (\frac{17}{20})^1\cdot (\frac{3}{20})^5+{6 \choose 2}\cdot (\frac{17}{20})^2\cdot (\frac{3}{20})^4\approx 0,00588$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Każda próba polega na zdobyciu gola (sukces) lub nie (porażka) i prawdopodobieństwo sukcesu w każdym strzale jest takie samo. Kolejny wynik nie wpływa na wynik poprzedni i następny, więc mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego o sześciu próbach.

Jeżeli n oznacza liczbę prób, p - prawdopodobieństwo sukcesu, q- prawdopodobieństwo porażki, to mamy:

$n=6\\ p=0,92=\frac{85}{100}=\frac{17}{20}\\ q=1-p=\frac{3}{20}$

Korzystamy ze wzoru:

$P(S_n=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}\\ p+q=1$

Mamy więc:

a) piłkarz zdobędzie 4 bramki

$P(S_6=4)={6 \choose 4}\cdot (\frac{17}{20})^4\cdot (\frac{3}{20})^{(6-4)}=\frac{6!}{4!2!}\cdot \frac{17^4}{20^4}\cdot \frac{3^2}{20^2}=\\ =\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!\cdot 2}\cdot \frac{83521}{160000}\cdot \frac{9}{400}=15\cdot \frac{83521}{160000}\cdot \frac{9}{400}=\frac{11275335}{64000000}\approx 0,176$

b) Piłkarz zdobędzie co najmniej 5 bramek

Co najmniej 5 bramek oznacza, że piłkarz może zdobyć 5 lub 6 bramek. Mamy więc:

$P(S_6\geq 5)=P(S_6=5)+P(S_6=6)=\\ ={6 \choose 5}\cdot (\frac{17}{20})^5\cdot (\frac{3}{20})^1+{6 \choose 6}\cdot (\frac{17}{20})^6\cdot (\frac{3}{20})^0=\\=\frac{6!}{5!1!}\cdot \frac{17^5}{20^5}\cdot \frac{3}{20}+1\cdot \frac{17^6}{20^6}\cdot 1=\frac{5!\cdot 6}{5!\cdot 1}\cdot \frac{17^5}{20^5}\cdot \frac{3}{20}+\frac{17^6}{20^6}\approx 0,399+0,377=0,776$

c) Piłkarz zdobędzie mniej niż 3 bramki

Mniej niż 3 bramki oznacza, że piłkarz może zdobyć 0,1 lub 2 bramki. Mamy więc:

$P(S_6< 3)=P(S_6=0)+P(S_6=1)+P(S_6=2)=\\ ={6 \choose 0}\cdot (\frac{17}{20})^0\cdot (\frac{3}{20})^6+{6 \choose 1}\cdot (\frac{17}{20})^1\cdot (\frac{3}{20})^5+{6 \choose 2}\cdot (\frac{17}{20})^2\cdot (\frac{3}{20})^4=\\ =1\cdot 1\cdot \frac{3^6}{20^6}+\frac{6!}{5!}\cdot \frac{17}{20}\cdot \frac{3^5}{20^5}+\frac{6!}{2!4!}\cdot \frac{17^2}{20^2}\cdot \frac{3^4}{20^4}=\\ =\frac{3^6+6\cdot 17\cdot 3^5+17^2\cdot 3^4\cdot 15}{20^6}=\frac{376650}{64000000}\approx 0,00588$