Doświadczenie losowe

Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Zdarzenie losowe

Zdarzenie losowe jest to wynik doświadczenia losowego.

Przykłady

W poniższej tabeli zawarto przykłady doświadczeń oraz zdarzeń losowych.

Doświadczenie losoweZdarzenie losowe (przykłady)
rzut kostką do gryparzysta liczba oczek, wyrzucono 3 oczka
rzut monetąorzeł, reszka
urodzenie dzieckapłeć męska, płeć żeńska
losowanie lottotrafienie 3 z 49 liczb
pomiar pewnej wielkości fizycznejpomiar mieści się w przedziale liczb od 1 do 5
losowanie kul z urny spośród kul czarnych i białychwylosowanie kuli czarnej
wyjęcie karty z taliikaro, as pik

Częstość zdarzenia losowego

Częstość zdarzenia w pojedynczym doświadczeniu losowym o zdarzeniu \(L\) (zdarzenie \(L\) może zajść lub nie) jest to iloraz \(c=\frac{l}{n}\), gdzie:

\(l\) — jest to liczba zajść zdarzenia \(L\).

\(n\) — liczba powtórzeń doświadczenia.

Im więcej powtórzeń doświadczenia tym częstość zdarzenia zbliża się do pewnej stałej liczby. Zjawisko to nosi nazwę prawidłowości statystycznej.

Przykład 1

moneta, orzeł

Rzuć 3 razy monetą. Będziemy mierzyć częstość zdarzenia polegającego na wyrzuceniu orła. Zapisz wyniki:

  • Liczba powtórzeń \(n=3\).
  • Ile razy wyrzucono orła (\(l\))?
  • Oblicz częstość zdarzenia \(c=\frac{l}{n}\).

Powtórz to samo doświadczenie, przyjmując liczbę powtórzeń rzutu monetą \(5\) razy, potem \(10\) razy i \(20\) razy. Jaki otrzymasz wynik \(c\)? Prawdopodobnie częstość zdarzenia \(c\) będzie coraz bliższa liczbie \(\frac{1}{2}\).

Przykład 2

kostka do gry

Rzuć 5 razy kostką do gry. Będziemy mierzyć częstość zdarzenia polegającego na wyrzuceniu szóstki. Zapisz wyniki:

  • Liczba powtórzeń \(n=5\).
  • Ile razy wyrzucono sześć oczek \(l\)?
  • Oblicz częstość zdarzenia \(c=\frac{l}{n}\)

Powtórz to samo doświadczenie, przyjmując liczbę powtórzeń rzutu kostką \(20\) razy, potem \(50\) razy i \(100\) razy. Jaki otrzymasz wynik \(c\)? Prawdopodobnie częstość zdarzenia c będzie coraz bliższa liczbie \(\frac{1}{6}\).

Zdarzenia elementarne

Zdarzenie elementarne jest to najprostszy (pojedynczy) wynik doświadczenia losowego.

Zdarzenie elementarne będziemy oznaczać grecką literą \(\omega\).

Zbiór zdarzeń elementarnych

Zbiór (przestrzeń) zdarzeń elementarnych jest to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać grecką literą \(\Omega\).

Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oznaczamy następująco: \(\overline{\overline{\Omega}}\) (zobacz pojęcie mocy zbioru).

Dla każdego doświadczenia losowego należy określić, co uważamy za zdarzenie elementarne i określić zbiór zdarzeń elementarnych. Oto przykłady.

Przykład 3

  • Doświadczenie losowe: rzut monetą.
  • Zdarzenie losowe: wyrzucenie orła lub reszki.
  • Zdarzenia elementarne:
    • \(\omega_1\) — wyrzucono orła.
    • \(\omega_2\) — wyrzucono reszkę.
  • Zbiór zdarzeń elementarnych: \(\Omega=\lbrace \omega_1, \omega_2 \rbrace\).
  • \(\overline{\overline{\Omega}}=2\).

Przykład 4

  • Doświadczenie losowe: rzut kostką do gry.
  • Zdarzenie losowe: wyrzucenie nieparzystej liczby oczek.
  • Zdarzenia elementarne:
    • \(\omega_1\) — wyrzucono 1.
    • \(\omega_1\) — wyrzucono 3.
    • \(\omega_1\) — wyrzucono 5.
  • Zbiór zdarzeń elementarnych: \(\Omega=\lbrace \omega_1, \omega_2,\omega_3 \rbrace\).
  • \(\overline{\overline{\Omega}}\).

Zbiór zdarzeń elementarny może być skończony, jak w powyższych przykładach, może też się składać z nieskończonej liczby zdarzeń elementarnych. Na podstawie powyższego określenia pojęć można zdefiniować zdarzenie losowe, jako każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Mówimy, że dane zdarzenie losowe zachodzi, gdy zachodzi jedno ze zdarzeń elementarnych wchodzących w skład tego zdarzenia.

Zbiór zdarzeń elementarnych ma dwa specyficzne podzbiory:

Zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe

Przykład 5

W rzucie kostką do gry zdarzeniem pewnym jest wyrzucenie co najmniej jednego oczka. Zdarzeniem niemożliwym jest wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 7.

Przykład 6

W losowaniu z urny jednej kuli z trzech o różnych kolorach: białym, czarnym i zielonym, zdarzeniem pewnym jest wyjęcie z urny kuli białej, czarnej lub zielonej, zdarzeniem niemożliwym jest wyjęcie z urny kuli czerwonej.

Liczba zdarzeń losowych

Liczba zdarzeń losowych. Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych ma \(n\) elementów, to łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemożliwym jest \(2^n\) zdarzeń losowych.

Ponieważ zdarzenia losowe są zbiorami, możemy się posługiwać tymi samymi relacjami, co w przypadku zbiorów, inaczej jednak używamy słownictwa. Poniższa tabela to ilustruje.

Relacja między zbioramiRelacja między zdarzeniamiOznaczenie relacji
suma zbiorów \(A\) i \(B\)suma zdarzeń \(A\) i \(B\)\(A\cup B\)
iloczyn zbiorów \(A\) i \(B\)iloczyn zdarzeń \(A\) i \(B\)\(A\cap B\)
różnica zbiorów \(A\) i \(B\)różnica zdarzeń \(A\) i \(B\)\(A \setminus B\)
uzupełnienie zbioru \(A\)zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(A\)\(A'\)
zbiór \(A\) zawiera się w \(B\)zdarzenie \(A\) pociąga zdarzenie \(B\)\(A\subset B\)
rozłączność zbiorów \(A\) i \(B\)zdarzenia \(A\) i \(B\)
wykluczają się
\(A\cap B=\emptyset\)

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2011-08-10, A-1410
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-23



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.