Logo Media Nauka

Doświadczenie losowe

Definicja Definicja

Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Zdarzenie losowe

Zdarzenie losowe jest to wynik doświadczenia losowego.

Przykład Przykład

W poniższej tabeli zawarto przykłady doświadczeń oraz zdarzeń losowych.

Doświadczenie losoweZdarzenie losowe (przykłady)
rzut kostką do gryparzysta liczba oczek, wyrzucono 3 oczka
rzut monetąorzeł, reszka
urodzenie dzieckapłeć męska, płeć żeńska
losowanie lottotrafienie 3 z 49 liczb
pomiar pewnej wielkości fizycznejpomiar mieści się w przedziale liczb od 1 do 5
losowanie kul z urny spośród kul czarnych i białychwylosowanie kuli czarnej
wyjęcie karty z taliikaro, as pik

Częstość zdarzenia losowego

Definicja Definicja

Częstość zdarzenia w pojedynczym doświadczeniu losowym o zdarzeniu L (zdarzenie L może zajść lub nie) jest to iloraz c=\frac{l}{n}, gdzie
l - jest to liczba zajść zdarzenia L,
n - liczba powtórzeń doświadczenia .

Im więcej powtórzeń doświadczenia tym częstość zdarzenia zbliża się do pewnej stałej liczby. Zjawisko to nosi nazwę prawidłowości statystycznej.

Przykład Przykład

moneta, orzeł

Rzuć 3 razy monetą. Będziemy mierzyć częstość zdarzenia polegającego na wyrzuceniu orła. Zapisz wyniki:

  • Liczba powtórzeń n=3
  • Ile razy wyrzucono orła? l=?
  • Oblicz częstość zdarzenia c=l/n

Powtórz to samo doświadczenie przyjmując liczbę powtórzeń rzutu monetą 5 razy, potem 10 razy i 20 razy. Jaki otrzymasz wynik c? Prawdopodobnie częstość zdarzenia c będzie coraz bliższa liczbie ½.

Przykład Przykład

kostka do gry

Rzuć 5 razy kostką do gry. Będziemy mierzyć częstość zdarzenia polegającego na wyrzuceniu szóstki. Zapisz wyniki:

  • Liczba powtórzeń n=5
  • Ile razy wyrzucono sześć oczek? l=?
  • Oblicz częstość zdarzenia c=l/n

Powtórz to samo doświadczenie przyjmując liczbę powtórzeń rzutu kostką 20 razy, potem 50 razy i 100 razy. Jaki otrzymasz wynik c? Prawdopodobnie częstość zdarzenia c będzie coraz bliższa liczbie 1/6.

Zdarzenia elementarne

Teoria Zdarzenie elementarne jest to najprostszy (pojedynczy) wynik doświadczenia losowego. Zdarzenie elementarne będziemy oznaczać grecką literą ω.

Zbiór (przestrzeń) zdarzeń elementarnych jest to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego. Zbiór zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać grecką literą Ω. Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oznaczamy następująco: \overline{\overline{\Omega}} (zobacz pojęcie mocy zbioru).

Dla każdego doświadczenia losowego należy określić co uważamy za zdarzenie elementarne i określić zbiór zdarzeń elementarnych. Oto przykłady:

Przykład Przykład

  • doświadczenie losowe: rzut monetą,
  • zdarzenie losowe: wyrzucenie orła lub reszki,
  • zdarzenie elementarne: ω1 - wyrzucono orła,
  • zdarzenie elementarne: ω2 - wyrzucono reszkę,
  • zbiór zdarzeń elementarnych: \Omega=\lbrace \omega_1, \omega_2 \rbrace,
  • \overline{\overline{\Omega}}=2.

Przykład Przykład

  • doświadczenie losowe: rzut kostką do gry,
  • zdarzenie losowe: wyrzucenie nieparzystej liczby oczek,
  • zdarzenie elementarne: ω1 - wyrzucono 1,
  • zdarzenie elementarne: ω2 - wyrzucono 3,
  • zdarzenie elementarne: ω3 - wyrzucono 5,
  • zbiór zdarzeń elementarnych: \Omega=\lbrace \omega_1, \omega_2,\omega_3 \rbrace,
  • \overline{\overline{\Omega}}=3.

Teoria Zbiór zdarzeń elementarny może być skończony, jak w powyższych przykładach, może też się składać z nieskończonej liczby zdarzeń elementarnych. W oparciu o powyższe określenia pojęć można zdefiniować zdarzenie losowe jako każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Mówimy, że dane zdarzenie losowe zachodzi, gdy zachodzi jedno ze zdarzeń elementarnych wchodzących w skład tego zdarzenia.

Teoria Zbiór zdarzeń elementarnych ma dwa specyficzne podzbiory:

  • Ω, będący sam swoim podzbiorem - nazywamy go zdarzeniem pewnym,
  • zbiór pusty \empty, który nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Przykład Przykład

W rzucie kostką do gry zdarzeniem pewnym jest wyrzucenie co najmniej jednego oczka, zdarzeniem niemożliwym jest wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 7.

Przykład Przykład

W losowaniu z urny jednej kuli z trzech o różnych kolorach: białym, czarnym i zielonym zdarzeniem pewnym jest wyjęcie z urny kuli białej lub czarnej lub zielonej, zdarzeniem niemożliwym jest wyjęcie z urny kuli czerwonej.

Teoria Liczba zdarzeń losowych. Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych ma n elementów, to łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemożliwym jest 2n zdarzeń losowych.

Ponieważ zdarzenia losowe są zbiorami możemy się posługiwać tymi samymi relacjami, co w przypadku zbiorów, inaczej jednak używamy słownictwa. Poniższa tabela to ilustruje.

relacja między zbioramirelacja między zdarzeniamioznaczenie relacji
suma zbiorów A i Bsuma zdarzeń A i BA\cup B
iloczyn zbiorów A i Biloczyn zdarzeń A i BA\cap B
różnica zbiorów A i Bróżnica zdarzeń A i BA \backslash B
uzupełnienie zbioru Azdarzenie przeciwne
do zdarzenia A
A'
zbiór A zawiera się w Bzdarzenie A pociąga
zdarzenie B
A\subset B
rozłączność
zbiorów A i B
zdarzenia A i B
wykluczają się
A\cap B=\empty

© medianauka.pl, 2011-08-10, ART-1410





Inne zagadnienia z tej lekcji

PrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwo
Definicja prawdopodobieństwa wraz z przykładami obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia losowego.
Własności prawdopodobieństwaWłasności prawdopodobieństwa
Podstawowe twierdzenia o prawdopodobieństwach zdarzeń wraz z przykładami ich stosowania.
Zastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwaZastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwa
Przykłady z rachunku prawdopodobieństwa z wykorzystania elementów kombinatoryki.
Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowitePrawdopodobieństwo warunkowe i całkowite
Definicja prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.
Zdarzenia niezależneZdarzenia niezależne
Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, gdy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.
Schemat BernoulliegoSchemat Bernoulliego
Obliczanie prawdopodobieństwa w oparciu o schemat Bernoulliego
Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)
Kiedy przy obliczaniu prawdopodobieństwa można posłużyć się grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym.
PrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwo
Definicja prawdopodobieństwa wraz z przykładami obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia losowego.



© Media Nauka 2008-2018 r.