Doświadczenie losowe

Definicja

Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Zdarzenie losowe

Zdarzenie losowe jest to wynik doświadczenia losowego.

Przykład

W poniższej tabeli zawarto przykłady doświadczeń oraz zdarzeń losowych.

Doświadczenie losowe	Zdarzenie losowe (przykłady)
rzut kostką do gry	parzysta liczba oczek, wyrzucono 3 oczka
rzut monetą	orzeł, reszka
urodzenie dziecka	płeć męska, płeć żeńska
losowanie lotto	trafienie 3 z 49 liczb
pomiar pewnej wielkości fizycznej	pomiar mieści się w przedziale liczb od 1 do 5
losowanie kul z urny spośród kul czarnych i białych	wylosowanie kuli czarnej
wyjęcie karty z talii	karo, as pik

Częstość zdarzenia losowego

Definicja

Częstość zdarzenia w pojedynczym doświadczeniu losowym o zdarzeniu L (zdarzenie L może zajść lub nie) jest to iloraz $c=\frac{l}{n}$ , gdzie
l - jest to liczba zajść zdarzenia L,
n - liczba powtórzeń doświadczenia .

Im więcej powtórzeń doświadczenia tym częstość zdarzenia zbliża się do pewnej stałej liczby. Zjawisko to nosi nazwę prawidłowości statystycznej.

Przykład

Rzuć 3 razy monetą. Będziemy mierzyć częstość zdarzenia polegającego na wyrzuceniu orła. Zapisz wyniki:

Liczba powtórzeń n=3
Ile razy wyrzucono orła? l=?
Oblicz częstość zdarzenia c=l/n

Powtórz to samo doświadczenie przyjmując liczbę powtórzeń rzutu monetą 5 razy, potem 10 razy i 20 razy. Jaki otrzymasz wynik c? Prawdopodobnie częstość zdarzenia c będzie coraz bliższa liczbie ½.

Przykład

Rzuć 5 razy kostką do gry. Będziemy mierzyć częstość zdarzenia polegającego na wyrzuceniu szóstki. Zapisz wyniki:

Liczba powtórzeń n=5
Ile razy wyrzucono sześć oczek? l=?
Oblicz częstość zdarzenia c=l/n

Powtórz to samo doświadczenie przyjmując liczbę powtórzeń rzutu kostką 20 razy, potem 50 razy i 100 razy. Jaki otrzymasz wynik c? Prawdopodobnie częstość zdarzenia c będzie coraz bliższa liczbie 1/6.

Zdarzenia elementarne

Zdarzenie elementarne jest to najprostszy (pojedynczy) wynik doświadczenia losowego. Zdarzenie elementarne będziemy oznaczać grecką literą ω.

Zbiór (przestrzeń) zdarzeń elementarnych jest to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego. Zbiór zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać grecką literą Ω. Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oznaczamy następująco: $\overline{\overline{\Omega}}$ (zobacz pojęcie mocy zbioru).

Dla każdego doświadczenia losowego należy określić co uważamy za zdarzenie elementarne i określić zbiór zdarzeń elementarnych. Oto przykłady:

Przykład

doświadczenie losowe: rzut monetą,
zdarzenie losowe: wyrzucenie orła lub reszki,
zdarzenie elementarne: ω₁ - wyrzucono orła,
zdarzenie elementarne: ω₂ - wyrzucono reszkę,
zbiór zdarzeń elementarnych: $\Omega=\lbrace \omega_1, \omega_2 \rbrace$ ,
$\overline{\overline{\Omega}}=2$ .

Przykład

doświadczenie losowe: rzut kostką do gry,
zdarzenie losowe: wyrzucenie nieparzystej liczby oczek,
zdarzenie elementarne: ω₁ - wyrzucono 1,
zdarzenie elementarne: ω₂ - wyrzucono 3,
zdarzenie elementarne: ω₃ - wyrzucono 5,
zbiór zdarzeń elementarnych: $\Omega=\lbrace \omega_1, \omega_2,\omega_3 \rbrace$ ,
$\overline{\overline{\Omega}}=3$ .

Zbiór zdarzeń elementarny może być skończony, jak w powyższych przykładach, może też się składać z nieskończonej liczby zdarzeń elementarnych. W oparciu o powyższe określenia pojęć można zdefiniować zdarzenie losowe jako każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Mówimy, że dane zdarzenie losowe zachodzi, gdy zachodzi jedno ze zdarzeń elementarnych wchodzących w skład tego zdarzenia.

Zbiór zdarzeń elementarnych ma dwa specyficzne podzbiory:

Ω, będący sam swoim podzbiorem - nazywamy go zdarzeniem pewnym,
zbiór pusty $\empty$ , który nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Przykład

W rzucie kostką do gry zdarzeniem pewnym jest wyrzucenie co najmniej jednego oczka, zdarzeniem niemożliwym jest wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 7.

Przykład

W losowaniu z urny jednej kuli z trzech o różnych kolorach: białym, czarnym i zielonym zdarzeniem pewnym jest wyjęcie z urny kuli białej lub czarnej lub zielonej, zdarzeniem niemożliwym jest wyjęcie z urny kuli czerwonej.

Liczba zdarzeń losowych. Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych ma n elementów, to łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemożliwym jest 2ⁿ zdarzeń losowych.

Ponieważ zdarzenia losowe są zbiorami możemy się posługiwać tymi samymi relacjami, co w przypadku zbiorów, inaczej jednak używamy słownictwa. Poniższa tabela to ilustruje.

relacja między zbiorami	relacja między zdarzeniami	oznaczenie relacji
suma zbiorów A i B	suma zdarzeń A i B	$A\cup B$
iloczyn zbiorów A i B	iloczyn zdarzeń A i B	$A\cap B$
różnica zbiorów A i B	różnica zdarzeń A i B	$A \backslash B$
uzupełnienie zbioru A	zdarzenie przeciwne do zdarzenia A
zbiór A zawiera się w B	zdarzenie A pociąga zdarzenie B	$A\subset B$
rozłączność zbiorów A i B	zdarzenia A i B wykluczają się	$A\cap B=\empty$

Inne zagadnienia z tej lekcji

Własności prawdopodobieństwa

Podstawowe twierdzenia o prawdopodobieństwach zdarzeń wraz z przykładami ich stosowania.

Zastosowanie kombinatoryki do prawdopodobieństwa

Przykłady z rachunku prawdopodobieństwa z wykorzystania elementów kombinatoryki.

Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.

Zdarzenia niezależne

Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, gdy prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.

Schemat Bernoulliego

Obliczanie prawdopodobieństwa w oparciu o schemat Bernoulliego

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Kiedy przy obliczaniu prawdopodobieństwa można posłużyć się grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.