Logo Serwisu Media Nauka

Zastosowanie kombinatoryki do obliczania prawdopodobieństwa

Teoria Część zadań z rachunku prawdopodobieństwa da się sprowadzić do schematu polegającego na losowaniu k elementów z n elementów pewnego zbioru ze zwracaniem lub bez zwracania do zbioru. Takie podejście do zagadnienia pozwala korzystać z kombinatoryki.

Poniższa tabela podsumowuje wiedzę z zakresu kombinatoryki.

Sposób losowanianazwa pLiczba pRodzajCzy kolejność wyrazów ma znaczenie?Czy mogą występować powtórzenia tego samego elementu zbioru?
losowanie bez zwracaniapermutacjeP_n=n!tworzymy ciągi n-elementowetaknie
losowanie bez zwracaniakombinacjeC^{k}_{n}={n \choose k}=\\ =\frac{n!}{k!(n-k)!}tworzymy podzbiory k-elementowenienie
losowanie bez zwracaniawariacje bez powtórzeńV^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!}tworzymy ciągi k-elementowe o różnych wyrazachtaknie
losowanie ze zwracaniemwariacje z powtórzeniamiW^{k}_{n}=n^ktworzymy ciągi k-elementowetaktak

Oto kilka przykładów zadań z rachunku prawdopodobieństwa, w których zastosujemy elementy kombinatoryki.

Przykład Przykład

Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu w każdym rzucie kostką symetryczną inną liczbę oczek, w przypadku, gdy rzucamy kością 4 razy.

Zbiór zdarzeń elementarnych określamy następująco:
\Omega=\lbrace \omega=(k,l,m,n): k,l,m,n\in\lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace \rbrace.

Przykładowo zdarzeniem elementarnym będzie czwórka liczb (1,4,5,3) lub (6,6,6,6) itd. Jak obliczyć liczbę elementów zbioru zdarzeń elementarnych? Zauważ że losujemy kolejno cztery liczby ze zbioru sześciu liczb, przy czym kolejność losowania ma znaczenie, gdyż wynik (1,2,3,4) jest wynikiem innym od (4,3,2,1) - mamy tu dwa różne zdarzenia elementarne. Mamy losowanie ze zwracaniem, gdyż dla przykładu sześć oczek może wypaść kilka razy (czyli gdy wylosujemy sześć oczek, w kolejnym losowaniu znów można wylosować tę samą liczbę - trzeba ją więc po każdym losowaniu "zwrócić" do zbioru). Z powyższej tabeli wynika, że jeżeli mamy do czynienia z losowaniem ze zwracaniem, w którym kolejność elementów jest istotna, to do obliczenia liczby wszystkich możliwych wyników losowań w tym doświadczeniu stosujemy wariację z powtórzeniami.

Obliczamy więc 4-wyrazowe wariacje z powtórzeniami sześcioelementowego zbioru.
\overline{\overline{\Omega}}=W^4_6=6^4=1296

Zdarzenie A polega na wyrzuceniu w każdym rzucie innej liczby oczek, a więc to tak, jakby po wyrzuceniu na przykład szóstki nie zwrócić jej do zbioru i losować z pozostałych pięciu możliwych liczb. Kolejność oczywiście nadal ma znaczenie. Aby obliczyć liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, skorzystamy z wariacji bez powtórzeń.

\overline{\overline{A}}=V^4_6=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6!}{2!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2}=3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{360}{1296}=\frac{5}{18}

Przykład Przykład

W wytłaczance jest 9 jajek dobrych i 3 zepsute. Wyjęto 2 jajka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jajecznica z obu jajek będzie smaczna?

Zakładamy, że jajecznica jest smaczna, jeżeli powstała z dobrych jajek. Ponumerujemy jajka dobre od 1 do 9, a złe od 10 do 12. Nie ma znaczenia czy weźmiemy z wytłaczanki pierwsze a potem drugie jajko lub odwrotnie. Kolejność nie ma tu znaczenia. Jajek po wybraniu nie zwracamy do wytłaczanki, więc aby policzyć na ile sposobów możemy wylosować dwa jajka z 12 korzystamy z kombinacji dwuelementowych zbioru 12-elementowego.

\overline{\overline{\Omega}}=C^2_{12}={12\choose 2}=\frac{12!}{2!(12-2)!}=\frac{12!}{2!10!}=\frac{10!\cdot 11\cdot 12}{2\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12}{2}=66

Zdarzenie A oznacza wylosowanie 2 dobrych jajek, a więc losujemy dwa elementy ze zbioru dziewięcioelementowego (bo tyle jest dobrych jajek) i kolejność nie ma tu znaczenia, jajek nie zwracamy po losowaniu. Znów korzystamy z kombinacji.

\overline{\overline{A}}=C^2_9={9\choose 2}=\frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!7!}=\frac{7!\cdot 8\cdot 9}{2\cdot 7!}=\frac{72}{2}=36

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{36}{66}=\frac{6}{11}

Przykład Przykład

Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia 6 w dużego lotka?

W dużym lotku losuje się bez zwracania 6 liczb z 49, kolejność nie ma znaczenia, więc zdarzeń elementarnych jest tyle ile kombinacji sześcioelementowych zbioru 49-elementowego:

\overline{\overline{\Omega}}=C^6_{49}={49\choose 6}=\frac{49!}{6!(49-6)!}=\frac{49!}{6!43!}=13983816

zdarzenie A - wytypowanie 6-ciu liczb zachodzi w jednym przypadku.

\overline{\overline{A}}=1

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{1}{13983816}


© medianauka.pl, 2011-08-12, ART-1414





Inne zagadnienia z tej lekcji




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.