Wariacje z powtórzeniami
Definicja
Wariacja k-elementowa z powtórzeniami n-elementowego zbioru jest to każdy k-elementowy ciąg, którego wyrazy należą do n-elementowego zbioru (k≤n).
Przykład
Dany jest zbiór {1,2,3}.
Oto wszystkie wariacje jednoelementowe z powtórzeniami powyższego zbioru: (1), (2), (3).
Oto wszystkie wariacje dwuelementowe z powtórzeniami powyższego zbioru: (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2), (1,1), (2,2), (3,3).
Oto wszystkie wariacje trzyelementowe z powtórzeniami powyższego zbioru: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (1,1,2), (1,1,3), (2,1,1), (3,1,1), (1,2,1), (1,3,1), (2,2,1), (2,2,3), (1,2,2), (3,2,2), (2,1,2), (2,3,2), (3,3,1), (3,3,2), (1,3,3), (2,3,3), (3,1,3), (3,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (3,3,3).
Liczba wariacji z powtórzeniami
Wariacje z powtórzeniami różnią się od wariacji bez powtórzeń tym, że wyrazy ciągów nie muszą być różne.
Liczbę wszystkich wariacji k-elementowych z powtórzeniami n-elementowego zbioru oznaczamy przez
i obliczamy ze wzoru:

Powyższy zbiór na ilość wariacji z powtórzeniami wykorzystamy w poniższych przykładowych zadaniach:
Przykłady
Przykład
Dla zbioru z powyższego przykładu {1,2,3} policzmy ile można z jego elementów utworzyć wariacji k-elementowych z powtórzeniami.
Przykład
Ile liczb sześciocyfrowych można ułożyć z cyfr 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, dopuszczając 0 na pierwszym miejscu?
Tworzymy ciągi sześcioelementowe z elementów zbioru dziesięciu cyfr. Ponieważ dopuszczamy powtórzenia (te same cyfry w ciągu) stosujemy wariacje z powtórzeniami, a ich liczbę obliczamy z powyższego wzoru.
Odpowiedź: z dziesięciu cyfr możemy utworzyć milion różnych liczb.

Kalkulator - wariacje z powtórzeniami
Nasz program może obliczyć liczbę k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego. Pamiętaj aby podać liczby naturalne.
Wpisz dane:- Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
- Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
- Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
- Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wariacja z powtórzeniami
Zadanie - wariacje - zadanie z treścią - informatyka
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?
Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Permutacja

Permutacja zbioru n-elementowego jest to każdy ciąg n-wyrazowy utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.
Kombinacja

Co to sa kobinacje k-elementowe n-elementowego zbioru? Jak obliczyć liczbę kombinacji? Wzory, definicje i przykłady.
Kombinatoryka

Kombinatoryka. Pojęcia permutacji, kombinacji, wariacji są mylone ze sobą. W tabeli zestawione zostały podobieństwa i różnice między nimi.
© medianauka.pl, 2009-08-23, ART-302