Wariacje z powtórzeniami

Definicja

Wariacja k-elementowa z powtórzeniami n-elementowego zbioru jest to każdy k-elementowy ciąg, którego wyrazy należą do n-elementowego zbioru (k≤n).

Przykład

Dany jest zbiór {1,2,3}.
Oto wszystkie wariacje jednoelementowe z powtórzeniami powyższego zbioru: (1), (2), (3).
Oto wszystkie wariacje dwuelementowe z powtórzeniami powyższego zbioru: (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2), (1,1), (2,2), (3,3).
Oto wszystkie wariacje trzyelementowe z powtórzeniami powyższego zbioru: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (1,1,2), (1,1,3), (2,1,1), (3,1,1), (1,2,1), (1,3,1), (2,2,1), (2,2,3), (1,2,2), (3,2,2), (2,1,2), (2,3,2), (3,3,1), (3,3,2), (1,3,3), (2,3,3), (3,1,3), (3,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (3,3,3).

Liczba wariacji z powtórzeniami

Wariacje z powtórzeniami różnią się od wariacji bez powtórzeń tym, że wyrazy ciągów nie muszą być różne.

Liczbę wszystkich wariacji k-elementowych z powtórzeniami n-elementowego zbioru oznaczamy przez $W^{k}_{n}$ i obliczamy ze wzoru:

$W^{k}_{n}=n^k$

Powyższy zbiór na ilość wariacji z powtórzeniami wykorzystamy w poniższych przykładowych zadaniach:

Przykłady

Przykład

Dla zbioru z powyższego przykładu {1,2,3} policzmy ile można z jego elementów utworzyć wariacji k-elementowych z powtórzeniami.

$W^{1}_{3}=3^1=3\\W^{2}_{3}=3^2=9\\W^{3}_{3}=3^3=27$

Przykład

Ile liczb sześciocyfrowych można ułożyć z cyfr 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, dopuszczając 0 na pierwszym miejscu?
Tworzymy ciągi sześcioelementowe z elementów zbioru dziesięciu cyfr. Ponieważ dopuszczamy powtórzenia (te same cyfry w ciągu) stosujemy wariacje z powtórzeniami, a ich liczbę obliczamy z powyższego wzoru.
$W^{1}_{3}=3^1=3\\W^{2}_{3}=3^2=9\\W^{3}_{3}=3^3=27$
Odpowiedź: z dziesięciu cyfr możemy utworzyć milion różnych liczb.

Kalkulator - wariacje z powtórzeniami

Nasz program może obliczyć liczbę k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego. Pamiętaj aby podać liczby naturalne.

Wpisz dane:

Losujemy k-elementów:

ze zbioru n-elementowego:

Rozwiązanie:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹²
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wariacja z powtórzeniami

Zadanie - wariacje - zadanie z treścią - informatyka
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.