Strona główna » Matematyka » Wykres funkcji kwadratowej • Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej

Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
parabola

Rozwiązanie zadania uproszczone

A=(0,2), B=(2,1), C=(4,2)
$y=ax^2+bx+c\\ \begin{cases}2=a\cdot 0^2+b\cdot 0 +c \\ 1=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c \\ 2=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c\end{cases} \\ \begin{cases}2=c \\ 1=4a+2b+c \\ 2=16a+4b+c\end{cases}$
$\begin{cases}1=4a+2b+2 \\ 2=16a+4b+2\end{cases} \\ \begin{cases}-4a-2b=1 \\ 16a+4b=0/:4 \end{cases}\\ \underline{\begin{cases}-4a-2b=1 \\ \ \ 4a+b=0\end{cases}} \\ ^+ \\ \ \ \ \ \ \ \ -b=1/\cdot(-1)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b=-1$
$1=4a+2b+2\\ 1=4a+2\cdot(-1)+2\\ -4a=-1/:(-4)\\ a=\frac{1}{4}$
$y=\frac{1}{4}x^2-x+2$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wiemy, że parabola jest wykresem funkcji kwadratowej, której postać jest następująca:

Nie znamy współczynników a, b, c. Musimy je znaleźć.
Na wykresie zaznaczono trzy punkty. Odczytajmy ich współrzędne:

$A=(0,2), \ B=(2,1), \ C=(4,2)$ tło

Współrzędne tych punktów spełniają równanie f(x)=y=ax²+bx+c.

Otrzymujemy w ten sposób równania:

$\begin{cases}2=a\cdot 0^2+b\cdot 0 +c \\ 1=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c \\ 2=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c\end{cases} \\ \begin{cases}2=c \\ 1=4a+2b+c \\ 2=16a+4b+c\end{cases}$ tło

Udało się wyznaczyć wartość współczynnika c w pierwszym równaniu. Podstawimy ją do pozostałych dwóch i rozwiążemy układ dwóch równań metodą przeciwnych współczynników.

$\begin{cases}1=4a+2b+2 \\ 2=16a+4b+2\end{cases} \\ \begin{cases}-4a-2b=1 \\ 16a+4b=0/:4 \end{cases}\\ \underline{\begin{cases}-4a-2b=1 \\ \ \ 4a+b=0\end{cases}} \\ ^+ \\ \ \ \ \ \ \ \ -b=1/\cdot(-1)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b=-1$

Wyznaczyliśmy wartość współczynnika b. Podstawiamy go do jednego z równań w celu wyznaczenia współczynnika a.

$1=4a+2b+2\\ 1=4a+2\cdot(-1)+2\\ -4a=-1/:(-4)\\ a=\frac{1}{4}$

Mając już wszystkie współczynniki, możemy zapisać równanie paraboli: