Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Treść zadania:
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
Rozwiązanie zadania
Wiemy, że parabola jest wykresem funkcji kwadratowej, której postać jest następująca:
Nie znamy współczynników \(a, b, c\). Musimy je znaleźć.
Na wykresie zaznaczono trzy punkty. Odczytajmy ich współrzędne:
\(A=(0,2), \ B=(2,1), \ C=(4,2)\)
Współrzędne tych punktów spełniają równanie \(f(x)=y=ax^2+bx+c\).
Otrzymujemy w ten sposób równania:
\(\begin{cases}2=a\cdot 0^2+b\cdot 0 +c\\1=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c\\2=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c\end{cases}\)
\(\begin{cases}2=c\\1=4a+2b+c\\(2=16a+4b+c\end{cases}\)
Udało się wyznaczyć wartość współczynnika \(c\) w pierwszym równaniu. Podstawimy ją do pozostałych dwóch i rozwiążemy układ dwóch równań metodą przeciwnych współczynników.
\(\begin{cases}1=4a+2b+2 \\ 2=16a+4b+2\end{cases}\)
\(\begin{cases}-4a-2b=1 \\ 16a+4b=0/:4 \end{cases}\)
\(\underline{\begin{cases}-4a-2b=1\\4a+b=0\end{cases}}\)
\(+ \ \ \ -b=1/\cdot(-1)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ b=-1\)
Wyznaczyliśmy wartość współczynnika \(b\). Podstawiamy go do jednego z równań w celu wyznaczenia współczynnika \(a\).
\(1=4a+2b+2\)
\(1=4a+2\cdot(-1)+2\)
\(-4a=-1/:(-4)\)
\(a=\frac{1}{4}\)
Mając już wszystkie współczynniki, możemy zapisać równanie paraboli:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-14, ZAD-621
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Dla jakiej wartości parametrów \(m\) i \(n\) wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=x^2-mx+n+1\) jest punkt \(A(2,1)\)?
.Zadanie nr 5.
Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu \(f(x)=-2x^2+x-3\).
Zadanie nr 6.
Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A. \((-\infty,-2]\)
B. \([-2,4]\)
C. \([4,\infty)\)
D. \((-\infty,9]\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \([−1, 2]\) jest równa
A. \(2\)
B. \(5\)
C. \(8\)
D. \(9\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2−6x−3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
- \((-6,-3)\)
- \((-6,69)\)
- \((3,-12)\)
- \((6,-3)\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,− 4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zadanie 8: Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział
A. \((-\infty ,0\rangle \)
B. \(\langle 0, 4\rangle \)
C. \(\langle -4, +\infty)\)
D. \(\langle 4, +\infty)\)
Zadanie 9: Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa
A. \(-3\)
B. \(-4\)
C. \(4\)
D. \(0\)
Zadanie 10: Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A. \(x=-4\)
B. \(x=-4\)
C. \(y=2\)
D. \(x=2\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x−1)(x−3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).
Współczynnik a we wzorze funkcji \(f\) jest równy
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(-2\)
D. \(-1\)
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa
A. \(-3\)
B. \(0\)
C. \(1\)
D. \(2\)
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A. \(x=1\)
B. \(x=2\)
C. \(y=1\)
D. \(y=2\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x+1)(x-3)\) jest malejąca w przedziale
A. \([1, +\infty)\)
B. \((−\infty, 1]\)
C. \((−\infty, −8]\)
D. \([−8, +\infty)\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((−5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), jest równa \(3\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba
A. 11
B. 1
C. (-1)
D. (-13)