Strona główna » Matematyka » Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników

Zadanie - układ równań - metoda przeciwnych współczynników

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) $\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y \end{cases}$
b) $\begin{cases} 5x+5y=-7\\ -3x-2y=4 \end{cases}$

a) Rozwiązanie szczegółowe

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, dzieląc obie strony pierwszego równania przez liczbę 3 oraz obie strony drugiego równania przez liczbę -2. (Gdybyśmy chcieli uzyskać przeciwne współczynniki przy zmiennej y, należałoby podzielić obie strony pierwszego równania przez -4)

$\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y/:3 \\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y/:(-2) \end{cases}\\ \begin{cases} \frac{1}{6}x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}y \\ -\frac{1}{6}x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{8}y \end{cases}$

Przy zmiennej x mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami:

$\underline{_+\begin{cases} \frac{1}{6}x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}y \\ -\frac{1}{6}x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{8}y \end{cases}} \\ \cancel{\frac{1}{6}x}-\cancel{\frac{1}{6}x}-\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}y-\frac{1}{8}y \\ -\frac{4}{6}-\frac{9}{6}=\frac{8}{24}y-\frac{3}{24}y\\ -\frac{13}{6}=\frac{5}{24}y/\cdot \frac{24}{5}\\ -\frac{13}{\cancel{6}}\cdot \frac{\cancel{24}^4}{5}=y\\ y=-\frac{52}{5}\\ y=-10\frac{2}{5}$

Wyznaczoną wartość zmiennej y wstawiamy do dowolnego równania, najłatwiej będzie, gdy wykorzystamy pierwsze równanie:

$\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ y=-10\frac{2}{5} \end{cases}\\ \begin{cases} \frac{1}{2}x-2=-10\frac{2}{5}/\cdot 2\\ y=-10\frac{2}{5} \end{cases} \\ \begin{cases} x=-20\frac{4}{5}+4\\ y=-10\frac{2}{5} \end{cases} \\ \begin{cases} x=-16\frac{4}{5}\\ y=-10\frac{2}{5} \end{cases}$

Odpowiedź

$\begin{cases} x=-16\frac{4}{5}\\ y=-10\frac{2}{5} \end{cases}$

b) Rozwiązanie szczegółowe

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, mnożąc obie strony pierwszego równania przez liczbę 3 oraz obie strony drugiego równania przez liczbę 5. (Gdybyśmy chcieli uzyskać przeciwne współczynniki przy zmiennej y, należałoby podzielić obie strony pierwszego równania przez 2 i drugiego równania przez 5)

$\begin{cases} 5x+5y=-7/\cdot 3\\ -3x-2y=4/\cdot 5 \end{cases}\\ \begin{cases} 15x+15y=-21\\ -15x-10y=20 \end{cases}$

Przy zmiennej x mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami:

$\underline{_+\begin{cases} 15x+15y=-21\\ -15x-10y=20 \end{cases}}\\ \cancel{15x}-\cancel{15x}+15y-10y=-21+20\\ -5y=-1/:5\\ y=\frac{1}{5}$

Wyznaczoną wartość zmiennej y wstawiamy do dowolnego równania, najłatwiej będzie, gdy wykorzystamy pierwsze równanie:

$\begin{cases} 5x+5y=-7\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}\\ \begin{cases} 5x+5\cdot \frac{1}{5}=-7\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}\\ \begin{cases} 5x+1=-7\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}\\ \begin{cases} 5x=-8/:5\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}\\ \begin{cases} x=-\frac{8}{5}\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}$