Rozwiązywanie układu równań

Metoda wyznaczników

Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda wyznaczników. Metoda ta należy do najefektywniejszych metod rozwiązywania układów równań, szczególnie z parametrem. Zanim jednak zostanie omówiona ta metoda należy zapoznać się z pojęciem wyznacznika.

Definicja

Różnicę iloczynów nazywamy wyznacznikiem drugiego stopnia i oznaczamy go w następujący sposób: $W=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|$

Liczby w wyznaczniku mnożymy "na krzyż" tak jak to pokazuje poniższa animacja:

Animacja

Przykład

$W=\left|\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right|=1\cdot{4}-2\cdot{3}=4-6=-2\\{W=\left|\begin{array}{cc}5&-2\\4&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-(-2\cdot{4})=15+8=23}\\{W=\left|\begin{array}{cc}0&4\\0&3\end{array}\right|=0\cdot{3}-4\cdot{0}=0-0=0}$

Dany jest układ równań:

$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$

Wyznacznik układu jest to:

$W=\left|\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{array}\right|$

Zapisujemy więc w wyznaczniku kolejno wszystkie liczby przy niewiadomych w odpowiedniej kolejności.

Wyznacznik ze względu na x jest to:

$W_x=\left|\begin{array}{cc}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{array}\right|$

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej x wyrazami wolnymi c.

Wyznacznik ze względu na y jest to:

$W_y=\left|\begin{array}{cc}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{array}\right|$

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej y wyrazami wolnymi c.

Znając wyznaczniki układu możemy łatwo określić jego rozwiązanie. Możliwe są trzy przypadki:

1) Jeżeli $W\neq{0}$ , to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:

$x=\frac{W_x}{W},\quad{y}=\frac{W_y}{W}$

2) Jeżeli , to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, równania układu są od siebie zależne.

3) Jeżeli $W=0\quad{i}\quad{W_x}\neq{0}$ lub $W=0\quad{i}\quad{W_y}\neq{0}$ , to układ równań nie ma rozwiązań, jest to układ równań wzajemnie sprzecznych.

Przykład

Rozwiążemy układ równań metodą wyznaczników
$\begin{cases}5x+4y-1=0\\-y-3=-x\end{cases}$

W pierwszej kolejności należy uporządkować wyrazy. Wyrazy wolne przenosimy na prawą stronę równań, niewiadome w odpowiedniej kolejności na lewą stronę równań.
$\begin{cases}5x+4y=1\\x-y=3\end{cases}$

Obliczamy wyznacznik układu:
$W=\left|\begin{array}{cc}5&4\\1&-1\end{array}\right|=5\cdot(-1)-4\cdot{1}=-5-4=-9$
Wyznacznik układu jest różny od zera, więc układ posiada jedno rozwiązanie. Aby je znaleźć musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi: $W_x=\left|\begin{array}{cc}1&4\\3&-1\end{array}\right|=1\cdot(-1)-4\cdot{3}=-1-12=-13$ oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi: $W=\left|\begin{array}{cc}5&1\\1&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-1\cdot{1}=15-1=14$ .
Mamy więc rozwiązanie:

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-13}{-9}=1\frac{4}{9}\\y=\frac{W_y}{W}=\frac{14}{-9}=-1\frac{5}{9}$

Kalkulator - Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników

Nasz robot spróbuje rozwiązać układ równań liniowych za pomocą wyznaczników.

Układ dwóch równań pierwszego stopnia ma postać:
$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\$
Jeżeli twój układ nie ma takiej postaci, w pierwszej kolejności doprowadź go do niej, porządkując wyrazy przy niewiadomych i wyrazy wolne. Aby rozwiązać układ równań podaj współczynniki :

Wpisz dane:

$\begin{cases} \LARGE \\\ \LARGE \end{cases}$ x+ y =
x+ y =

Rozwiązujemy układ równań:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹²
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Inne kalkulatory:
Rozwiąż równanie kwadratowe w zbiorze liczb rzeczywistych
Wykaz wszystkich kalkulatorów

Metoda wyznaczników sprawdza się wyjątkowo dobrze w przypadku układów nierówności z parametrem. Oto przykład takiego zadania.

Przykład

Sprawdzimy, dla jakiej wartości parametru m, układ równań

$\begin{cases}(m-1)x+4y=0\\x-2y=m+2\end{cases}$

ma jedno rozwiązanie.

Obliczamy wyznacznik układu:

$W=\left|\begin{array}{cc}m-1&4\\1&-2\end{array}\right|=(m-1)\cdot(-2)-4\cdot{1}=-2m+2-4=-2m-2$
Aby układ równań miał jedno rozwiązanie, wyznacznik układu musi być różny od zera, więc
$-2m-2\neq{0}\\-2m\neq{2}/:(-2)\\m\neq{-1}$

Dla m różnego od -1 układ równań ma jedno rozwiązanie.
Znajdźmy to rozwiązanie. Musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi:

$W_x=\left|\begin{array}{cc}0&4\\m+2&-2\end{array}\right|=0-4(m+2)=-4m-8$

oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi:

$W=\left|\begin{array}{cc}m-1&0\\1&m+2\end{array}\right|=(m-1)(m+2)-0\cdot{1}=m^2+m-2$ .
Mamy więc rozwiązanie:

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-4m-8}{-2m-2}=\frac{-2(2m+4)}{-2(m+1)}=\frac{2m+4}{m+1}\\y=\frac{W_y}{W}=\frac{m^2+m-2}{-2m-2}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dla jakiej wartości parametru a układ równań
$\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}$
nie ma rozwiązania?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakiej wartości parametrów a, b, c układ równań
$\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}$
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dla jakiej wartości parametru a układ równań
$\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}$
ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać układ równań
$\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać układ równań
$\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Układ równań

Jeżeli dwa równania w układzie równań są równaniami pierwszego stopnia, to układ taki nazywamy układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu w jednym z równań układu jednej niewiadomej poprzez drugą i wstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania.

Układy równań - metoda przeciwnych współczynników

Układy równań - Metoda przeciwnych współczynników.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.