Rozwiązywanie układu równań
Metoda wyznaczników
Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda wyznaczników. Metoda ta należy do najefektywniejszych metod rozwiązywania układów równań, szczególnie z parametrem. Zanim jednak zostanie omówiona ta metoda należy zapoznać się z pojęciem wyznacznika.
Definicja
Różnicę iloczynów nazywamy wyznacznikiem drugiego stopnia i oznaczamy go w następujący sposób:
Liczby w wyznaczniku mnożymy "na krzyż" tak jak to pokazuje poniższa animacja:

Animacja
Przykład
Dany jest układ równań:
Wyznacznik układu jest to:
Zapisujemy więc w wyznaczniku kolejno wszystkie liczby przy niewiadomych w odpowiedniej kolejności.
Wyznacznik ze względu na x jest to:
Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej x wyrazami wolnymi c.
Wyznacznik ze względu na y jest to:
Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej y wyrazami wolnymi c.
Znając wyznaczniki układu możemy łatwo określić jego rozwiązanie. Możliwe są trzy przypadki:
1) Jeżeli , to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:

2) Jeżeli , to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, równania układu są od siebie zależne.
3) Jeżeli lub
, to układ równań nie ma rozwiązań, jest to układ równań wzajemnie sprzecznych.
Przykład
Rozwiążemy układ równań metodą wyznaczników
W pierwszej kolejności należy uporządkować wyrazy. Wyrazy wolne przenosimy na prawą stronę równań, niewiadome w odpowiedniej kolejności na lewą stronę równań.
Obliczamy wyznacznik układu:
Wyznacznik układu jest różny od zera, więc układ posiada jedno rozwiązanie. Aby je znaleźć musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi: oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi:
.
Mamy więc rozwiązanie:
Kalkulator - Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników
Nasz robot spróbuje rozwiązać układ równań liniowych za pomocą wyznaczników.
Układ dwóch równań pierwszego stopnia ma postać:
Jeżeli twój układ nie ma takiej postaci, w pierwszej kolejności doprowadź go do niej, porządkując wyrazy przy niewiadomych i wyrazy wolne. Aby rozwiązać układ równań podaj współczynniki :

x+ y =
Objaśnienia:
- Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
- Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
- Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
- Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.
Inne kalkulatory:
Rozwiąż równanie kwadratowe w zbiorze liczb rzeczywistych
Wykaz wszystkich kalkulatorów
Metoda wyznaczników sprawdza się wyjątkowo dobrze w przypadku układów nierówności z parametrem. Oto przykład takiego zadania.
Przykład
Sprawdzimy, dla jakiej wartości parametru m, układ równań
ma jedno rozwiązanie.
Obliczamy wyznacznik układu:
Aby układ równań miał jedno rozwiązanie, wyznacznik układu musi być różny od zera, więc
Dla m różnego od -1 układ równań ma jedno rozwiązanie.
Znajdźmy to rozwiązanie. Musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi:
oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi:
.
Mamy więc rozwiązanie:
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
nie ma rozwiązania?
Zadanie nr 2.
Dla jakiej wartości parametrów a, b, c układ równań
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
Zadanie nr 3.
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
ma jedno rozwiązanie?
Inne zagadnienia z tej lekcji
Układ równań

Jeżeli dwa równania w układzie równań są równaniami pierwszego stopnia, to układ taki nazywamy układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu w jednym z równań układu jednej niewiadomej poprzez drugą i wstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania.
© medianauka.pl, 2009-07-12, ART-264