Metoda wyznaczników

Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda wyznaczników. Metoda ta należy do najefektywniejszych metod rozwiązywania układów równań, szczególnie tych z parametrem. Zanim jednak zostanie omówiona ta metoda, należy zapoznać się z pojęciem wyznacznika.

Definicja

Różnicę iloczynów $ad-bc$ nazywamy wyznacznikiem drugiego stopnia i oznaczamy go w następujący sposób: $W=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|$

Liczby w wyznaczniku mnożymy „na krzyż”.

Przykłady

$W=\left|\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right|=1\cdot{4}-2\cdot{3}=4-6=-2$

$W=\left|\begin{array}{cc}5&-2\\4&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-(-2\cdot{4})=15+8=23$

$W=\left|\begin{array}{cc}0&4\\0&3\end{array}\right|=0\cdot{3}-4\cdot{0}=0-0=0$

Wyznacznik układu

Dany jest układ równań:

$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$

Wyznacznik układu jest to:

$W=\left|\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{array}\right|$

Zapisujemy więc w wyznaczniku kolejno wszystkie liczby przy niewiadomych w odpowiedniej kolejności.

Wyznacznik ze względu na $x$ jest to:

$W_x=\left|\begin{array}{cc}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{array}\right|$

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej $x$ wyrazami wolnymi $c$.

Wyznacznik ze względu na $y$ jest to:

$W_y=\left|\begin{array}{cc}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{array}\right|$

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej $y$ wyrazami wolnymi $c$.

Znając wyznaczniki układu, możemy łatwo określić jego rozwiązanie. Możliwe są trzy przypadki:

1) Jeżeli $W\neq{0}$, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:

$x=\frac{W_x}{W},\quad{y}=\frac{W_y}{W}$

2) Jeżeli $W=W_x=W_y=0$, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, równania układu są od siebie zależne.

3) Jeżeli $W=0\quad{i}\quad{W_x}\neq{0}$ lub $W=0\quad{i}\quad{W_y}\neq{0}$ to układ równań nie ma rozwiązań, jest to układ równań wzajemnie sprzecznych.

Przykłady

Rozwiązać układ równań metodą wyznaczników:

$\begin{cases}5x+4y-1=0\\-y-3=-x\end{cases}$

W pierwszej kolejności należy uporządkować wyrazy. Wyrazy wolne przenosimy na prawą stronę równań, niewiadome w odpowiedniej kolejności na lewą stronę równań.

$\begin{cases}5x+4y=1\\x-y=3\end{cases}$

Obliczamy wyznacznik układu:

$W=\left|\begin{array}{cc}5&4\\1&-1\end{array}\right|=5\cdot(-1)-4\cdot{1}=-5-4=-9$

Wyznacznik układu jest różny od zera, więc układ posiada jedno rozwiązanie. Aby je znaleźć, musimy obliczyć wyznacznik ze względu na $x$, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi:

$W_x=\left|\begin{array}{cc}1&4\\3&-1\end{array}\right|=1\cdot(-1)-4\cdot{3}=-1-12=-13$

oraz obliczamy wyznacznik ze względu na $y$, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy $y$ wyrazami wolnymi:

$W=\left|\begin{array}{cc}5&1\\1&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-1\cdot{1}=15-1=14$

Mamy więc rozwiązanie:

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-13}{-9}=1\frac{4}{9}$

$y=\frac{W_y}{W}=\frac{14}{-9}=-1\frac{5}{9}$

Kalkulator układów równań

Kalkulator
Rozwiązywanie układów równań metodą wyznacznikową

Nasz robot spróbuje rozwiązać układ równań liniowych za pomocą wyznaczników.

Układ dwóch równań pierwszego stopnia ma postać:

$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$

Jeżeli twój układ nie ma takiej postaci, w pierwszej kolejności doprowadź go do niej, porządkując wyrazy przy niewiadomych i wyrazy wolne. Aby rozwiązać układ równań, podaj współczynniki $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$: