Logo Media Nauka

Facebook

Rozwiązywanie układu równań

Metoda wyznaczników

Teoria Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda wyznaczników. Metoda ta należy do najefektywniejszych metod rozwiązywania układów równań, szczególnie z parametrem. Zanim jednak zostanie omówiona ta metoda należy zapoznać się z pojęciem wyznacznika.

Definicja Definicja

Różnicę iloczynów ad-bc nazywamy wyznacznikiem drugiego stopnia i oznaczamy go w następujący sposób: W=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|

Liczby w wyznaczniku mnożymy "na krzyż" tak jak to pokazuje poniższa animacja:

Animacja

Animacja



Przykład Przykład

W=\left|\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right|=1\cdot{4}-2\cdot{3}=4-6=-2\\{W=\left|\begin{array}{cc}5&-2\\4&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-(-2\cdot{4})=15+8=23}\\{W=\left|\begin{array}{cc}0&4\\0&3\end{array}\right|=0\cdot{3}-4\cdot{0}=0-0=0}

Teoria Dany jest układ równań:

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Wyznacznik układu jest to:

W=\left|\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{array}\right|

Zapisujemy więc w wyznaczniku kolejno wszystkie liczby przy niewiadomych w odpowiedniej kolejności.

Wyznacznik ze względu na x jest to:

W_x=\left|\begin{array}{cc}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{array}\right|

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej x wyrazami wolnymi c.

Wyznacznik ze względu na y jest to:

W_y=\left|\begin{array}{cc}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{array}\right|

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej y wyrazami wolnymi c.

Znając wyznaczniki układu możemy łatwo określić jego rozwiązanie. Możliwe są trzy przypadki:


1) Jeżeli W\neq{0}, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:

x=\frac{W_x}{W},\quad{y}=\frac{W_y}{W}

2) Jeżeli W=W_x=W_y=0, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, równania układu są od siebie zależne.

3) Jeżeli W=0\quad{i}\quad{W_x}\neq{0} lub W=0\quad{i}\quad{W_y}\neq{0}, to układ równań nie ma rozwiązań, jest to układ równań wzajemnie sprzecznych.


Przykład Przykład

Rozwiążemy układ równań metodą wyznaczników
\begin{cases}5x+4y-1=0\\-y-3=-x\end{cases}

W pierwszej kolejności należy uporządkować wyrazy. Wyrazy wolne przenosimy na prawą stronę równań, niewiadome w odpowiedniej kolejności na lewą stronę równań.
\begin{cases}5x+4y=1\\x-y=3\end{cases}

Obliczamy wyznacznik układu:
W=\left|\begin{array}{cc}5&4\\1&-1\end{array}\right|=5\cdot(-1)-4\cdot{1}=-5-4=-9
Wyznacznik układu jest różny od zera, więc układ posiada jedno rozwiązanie. Aby je znaleźć musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi: W_x=\left|\begin{array}{cc}1&4\\3&-1\end{array}\right|=1\cdot(-1)-4\cdot{3}=-1-12=-13 oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi: W=\left|\begin{array}{cc}5&1\\1&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-1\cdot{1}=15-1=14.
Mamy więc rozwiązanie:

x=\frac{W_x}{W}=\frac{-13}{-9}=1\frac{4}{9}\\y=\frac{W_y}{W}=\frac{14}{-9}=-1\frac{5}{9}

Kalkulator
Kalkulator - Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników

Nasz robot spróbuje rozwiązać układ równań liniowych za pomocą wyznaczników.

Układ dwóch równań pierwszego stopnia ma postać:
\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\
Jeżeli twój układ nie ma takiej postaci, w pierwszej kolejności doprowadź go do niej, porządkując wyrazy przy niewiadomych i wyrazy wolne. Aby rozwiązać układ równań podaj współczynniki a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2:

Wpisz dane:

\begin{cases} \LARGE \\\ \LARGE \end{cases} x+ y =
x+ y =



Rozwiązujemy układ równań:


 Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
  • Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Inne kalkulatory:
Rozwiąż równanie kwadratowe w zbiorze liczb rzeczywistych
Wykaz wszystkich kalkulatorów


Teoria Metoda wyznaczników sprawdza się wyjątkowo dobrze w przypadku układów nierówności z parametrem. Oto przykład takiego zadania.

Przykład Przykład

Sprawdzimy, dla jakiej wartości parametru m, układ równań

\begin{cases}(m-1)x+4y=0\\x-2y=m+2\end{cases}

ma jedno rozwiązanie.

Obliczamy wyznacznik układu:

W=\left|\begin{array}{cc}m-1&4\\1&-2\end{array}\right|=(m-1)\cdot(-2)-4\cdot{1}=-2m+2-4=-2m-2
Aby układ równań miał jedno rozwiązanie, wyznacznik układu musi być różny od zera, więc
-2m-2\neq{0}\\-2m\neq{2}/:(-2)\\m\neq{-1}

Dla m różnego od -1 układ równań ma jedno rozwiązanie.
Znajdźmy to rozwiązanie. Musimy obliczyć wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi:

W_x=\left|\begin{array}{cc}0&4\\m+2&-2\end{array}\right|=0-4(m+2)=-4m-8

oraz obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy y wyrazami wolnymi:

W=\left|\begin{array}{cc}m-1&0\\1&m+2\end{array}\right|=(m-1)(m+2)-0\cdot{1}=m^2+m-2.
Mamy więc rozwiązanie:

x=\frac{W_x}{W}=\frac{-4m-8}{-2m-2}=\frac{-2(2m+4)}{-2(m+1)}=\frac{2m+4}{m+1}\\y=\frac{W_y}{W}=\frac{m^2+m-2}{-2m-2}



© medianauka.pl, 2009-07-12, ART-264


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Rozwiązywanie układów równań - metoda wyznaczników

zadanie-ikonka Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}
nie ma rozwiązania?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametrów a, b, c układ równań
\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}
ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - układ równań liniowych - metoda wyznaczników
Rozwiązać układ równań
\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - układ równań liniowych - metoda wyznacznikowa
Rozwiązać układ równań
\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Układ równańUkład równań
Jeżeli dwa równania w układzie równań są równaniami pierwszego stopnia, to układ taki nazywamy układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązywanie układów równań metodą podstawianiaRozwiązywanie układów równań metodą podstawiania
Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu w jednym z równań układu jednej niewiadomej poprzez drugą i wstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania.
Układy równań - metoda przeciwnych współczynnikówUkłady równań - metoda przeciwnych współczynników
Układy równań - Metoda przeciwnych współczynników.
TestTest wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.








Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Matematyka
Kalkulatory maukowe
Kubek matematyka pi
kolorowe skarpetki matematyka
Dziwna Matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.