Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie układów równań — metoda wyznaczników

Zadanie - układ równań liniowych z parametrem

Dla jakiej wartości parametrów a, b, c układ równań
$\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}$
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}a+1&-1\\2a&1\end{array}\right|=a+1+2a=3a+1$

W=W_x=W_y=0

$W=3a+1=0 \\ 3a=-1/:3 \\ a=-\frac{1}{3}$

$W_x=\left|\begin{array}{cc}b&-1\\c&1\end{array}\right|=b\cdot 1-(-1)\cdot c=b+c=0 \\ b+c=0 \Leftrightarrow b=-c$

$W_y=\left|\begin{array}{cc}a+1&b\\2a&c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}&-c\\-\frac{2}{3}&c\end{array}\right|=\frac{2}{3}c-\frac{2}{3}c=0$

Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a=-1/3 oraz dowolnych rzeczywistych b, c, przy czym b=-c

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do rozwiązania zadania użyjemy metody wyznacznikowej. Czynimy tak zazwyczaj, gdy mamy do czynienia z układem równań z parametrem, tak jak w naszym zadaniu.

Obliczamy wyznacznik układu:

$\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}a+1&-1\\2a&1\end{array}\right|=a+1+2a=3a+1$ tło

Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań (być układem równań zależnych) wszystkie wyznaczniki układu muszą być równe zero, czyli W=W_x=W_y=0.

Przyrównujemy więc wyznacznik układu do zera, zgodnie z powyższym warunkiem. Otrzymujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą i rozwiązujemy je ze względ na a.

$W=3a+1=0 \\ 3a=-1/:3 \\ a=-\frac{1}{3}$

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na x. W tym celu współczynniki przy niewiadomej x zastępujemy wyrazami wolnymi. Wyznacznik ten powinien być równy zeru

$W_x=\left|\begin{array}{cc}b&-1\\c&1\end{array}\right|=b\cdot 1-(-1)\cdot c=b+c=0 \\ b+c=0 \Leftrightarrow b=-c$

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na y. W tym celu współczynniki przy niewiadomej y zastępujemy wyrazami wolnymi. Podstawiamy też za parametry a oraz b wyznaczone wartości:

$W_y=\left|\begin{array}{cc}a+1&b\\2a&c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}+1&-c\\2\cdot (-\frac{1}{3})&c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}&-c\\-\frac{2}{3}&c\end{array}\right|=\frac{2}{3}\cdot c-(-\frac{2}{3})\cdot(-c)= \\ =\frac{2}{3}c-\frac{2}{3}c=0$

Odpowiedź

Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a=-1/3 oraz dowolnych rzeczywistych b, c, przy czym b=-c

Zadania podobne

Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
$\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}$
nie ma rozwiązania?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
$\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}$
ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań liniowych - metoda wyznaczników
Rozwiązać układ równań
$\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań liniowych - metoda wyznacznikowa
Rozwiązać układ równań
$\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.