Zadanie - układ równań liniowych z parametrem

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Do rozwiązania zadania użyjemy metody wyznacznikowej. Czynimy tak zazwyczaj, gdy mamy do czynienia z układem równań z parametrem tak jak w naszym zadaniu.

Obliczamy wyznacznik układu:

\(\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}\)

\( W=\left|\begin{array}{cc}a+1&-1\\ 2a&1\end{array}\right|=a+1+2a=3a+1\)

Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań (być układem równań zależnych), wszystkie wyznaczniki układu muszą być równe zero, czyli \(W=W_x=W_y=0\).

Przyrównujemy więc wyznacznik układu do zera, zgodnie z powyższym warunkiem. Otrzymujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą i rozwiązujemy je ze względ na \(a\).

\(W=3a+1=0\)

\(3a=-1/:3\)

\(a=-\frac{1}{3}\)

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na \(x\). W tym celu współczynniki przy niewiadomej \(x\) zastępujemy wyrazami wolnymi. Wyznacznik ten powinien być równy zeru.

\(W_x=\left|\begin{array}{cc}b&-1\\c&1\end{array}\right|=b\cdot 1-(-1)\cdot c=b+c=0\)

\(b+c=0 \Leftrightarrow b=-c\)

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na \(y\). W tym celu współczynniki przy niewiadomej \(y\) zastępujemy wyrazami wolnymi. Podstawiamy też za parametry \(a\) oraz \(b\) wyznaczone wartości:

\(W_y=\left|\begin{array}{cc}a+1&b\\2a&c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}+1&-c\\2\cdot (-\frac{1}{3})&c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}&-c\\-\frac{2}{3}&c\end{array}\right|=\)

\(=\frac{2}{3}\cdot c-(-\frac{2}{3})\cdot(-c)=\frac{2}{3}c-\frac{2}{3}c=0\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-30, ZAD-462

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne