Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie układów równań - metoda wyznaczników

Zadanie - układ równań liniowych z parametrem

Dla jakiej wartości parametru a układ równań
$\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}$
nie ma rozwiązania?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\begin{cases} (a+1)x-3y=-a \\ ax+1\cdot y=-a-1 \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}a+1&-3\\a&1\end{array}\right|=a+1+3a=4a+1$
$W=4a+1=0 \\ 4a=-1/:4 \\ a=-\frac{1}{4}$
$\begin{cases} (a+1)x-3y=-a \\ ax+y=-a-1 \end{cases} \\ \begin{cases} (-\frac{1}{4}+1)x-3y=-(-\frac{1}{4}) \\ -\frac{1}{4}x+y=-(-\frac{1}{4})-1 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac{3}{4}x-3y=\frac{1}{4}/\cdot 4 \\ -\frac{1}{4}x+y=-\frac{3}{4}/\cdot 4 \end{cases} \\ \begin{cases} 3x-12y=1 \\ -x+4y=-3\end{cases}$
$\begin{cases} 3x-12y=1 \\ -x+4y=-3\end{cases} \\ W_x=\left|\begin{array}{cc}1&-12\\-3&4\end{array}\right|=1\cdot 4-(-12)\cdot(-3)=4-36=-32\neq 0$
Dla a=-1/4 układ równań nie posiada rozwiązania.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do rozwiązania zadania użyjemy metody wyznacznikowej.

Obliczamy wyznacznik główny układu, po przeniesieniu wyrazów wolnych na drugą stronę równań:

$\begin{cases} (a+1)x-3y=-a \\ ax+1\cdot y=-a-1 \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}a+1&-3\\a&1\end{array}\right|=a+1+3a=4a+1$ tło

Aby układ równań nie miał rozwiązań musi być spełniony pierwszy warunek, a mianowicie, aby wyznacznik główny układu był równy zero.

$W=4a+1=0 \\ 4a=-1/:4 \\ a=-\frac{1}{4}$

Ponadto układ równań nie ma rozwiązania, gdy jeden z wyznaczników ze względu na x lub ze względu na y jest różny od zera. Ponieważ znamy wartość parametru a możemy napisać:

$\begin{cases} (a+1)x-3y=-a \\ ax+y=-a-1 \end{cases} \\ \begin{cases} (-\frac{1}{4}+1)x-3y=-(-\frac{1}{4}) \\ -\frac{1}{4}x+y=-(-\frac{1}{4})-1 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac{3}{4}x-3y=\frac{1}{4}/\cdot 4 \\ -\frac{1}{4}x+y=-\frac{3}{4}/\cdot 4 \end{cases} \\ \begin{cases} 3x-12y=1 \\ -x+4y=-3\end{cases}$

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na x. W tym celu współczynniki przy niewiadomej x zastępujemy wyrazami wolnymi:

$\begin{cases} 3x-12y=1 \\ -x+4y=-3\end{cases} \\ W_x=\left|\begin{array}{cc}1&-12\\-3&4\end{array}\right|=1\cdot 4-(-12)\cdot(-3)=4-36=-32\neq 0$

Ponieważ W_x jest różny od zera, a wyznacznik W jest równy zeru, mamy pewność, że nasz układ równań nie posiada rozwiązania.

Odpowiedź

Dla a=-1/4 układ równań nie posiada rozwiązania.

Zadania podobne

Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametrów a, b, c układ równań
$\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}$
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
$\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}$
ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań liniowych - metoda wyznaczników
Rozwiązać układ równań
$\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań liniowych - metoda wyznacznikowa
Rozwiązać układ równań
$\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.