Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie układów równań — metoda wyznaczników

Zadanie - układ równań liniowych - metoda wyznacznikowa

Rozwiązać układ równań
$\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2/\cdot 2 \\ y-x=\frac{x+1}{3}/\cdot 3 \end{cases} \\ \begin{cases} x-y=2x+4 \\ 3y-3x=x+1 \end{cases} \\ \begin{cases} x-2x-y=4/\cdot (-1) \\ -3x-x+3y=1 \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=-4 \\ -4x+3y=1 \end{cases}$
$W=\left|\begin{array}{cc}1&1\\-4&3\end{array}\right|=3-(-4)=7$
$W_x=\left|\begin{array}{cc}-4&1\\1&3\end{array}\right|=-12-1=-13$
$W_y=\left|\begin{array}{cc}1&-4\\-4&1\end{array}\right|=1-16=-15$
$x=\frac{W_x}{W}=-\frac{13}{7} \\ y=\frac{W_y}{W}=-\frac{15}{7}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do rozwiązania zadania użyjemy metody wyznacznikowej.

Przy założeniu, że wyznacznik układu W jest różny od zera, rozwiązaniem układu jest para liczb:

$x=\frac{W_x}{W} \\ y=\frac{W_y}{W}$

Wcześniej jednak należy uporządkować wyrazy, aby znaleźć współczynniki przy niewiadomych i wyrazy wolne:

Obliczamy wyznacznik układu:

$W=\left|\begin{array}{cc}1&1\\-4&3\end{array}\right|=3-(-4)=7$

Wyznacznik układu jest różny od zera.

Teraz obliczymy wyznacznik ze względu na zmienną x, zastępując współczynniki przy zmiennej x wyrazami wolnymi:

$W_x=\left|\begin{array}{cc}-4&1\\1&3\end{array}\right|=-12-1=-13$

Obliczamy wyznacznik ze względu na zmienną y, zastępując współczynniki przy zmiennej y wyrazami wolnymi:

$W_y=\left|\begin{array}{cc}1&-4\\-4&1\end{array}\right|=1-16=-15$

Mamy więc rozwiązanie układu następujące:

$x=\frac{W_x}{W}=-\frac{13}{7} \\ y=\frac{W_y}{W}=-\frac{15}{7}$

Odpowiedź

$x=-\frac{13}{7}, \ y=-\frac{15}{7}$

Zadania podobne

Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
$\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}$
nie ma rozwiązania?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametrów a, b, c układ równań
$\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}$
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań liniowych z parametrem
Dla jakiej wartości parametru a układ równań
$\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}$
ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań liniowych - metoda wyznaczników
Rozwiązać układ równań
$\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.