Strona główna » Matematyka » Rozwiązywanie układów równań - metoda wyznacznikowa

Zadanie - układ równań liniowych - metoda wyznaczników

Rozwiązać układ równań
$\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{2}&-(\sqrt{2}-1)\\2+\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{array}\right|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}-[-(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})]= \\ =2+2\sqrt{2}+2-2-\sqrt{2}=\sqrt{2}+2$

$W_x=\left|\begin{array}{cc}3-2\sqrt{2}&-(\sqrt{2}-1)\\-2&\sqrt{2}\end{array}\right|=\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})-{(-2)\cdot [-(\sqrt{2}-1)]}= \\ =\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})-2(\sqrt{2}-1)=3\sqrt{2}-4-2\sqrt{2}+2=\sqrt{2}-2$

$W_y=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{2}&3-2\sqrt{2}\\2+\sqrt{2}&-2\end{array}\right|=-2\sqrt{2}-(3-2\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=\\ =-2\sqrt{2}-(6+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}-4)=-2\sqrt{2}-2+\sqrt{2}=-\sqrt{2}-2$

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2}=\frac{(\sqrt{2}-2)^2}{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)}=\frac{2-4\sqrt{2}+4}{2-4}=\frac{-4\sqrt{2}+6}{-2}=\\ =\frac{\cancel{-2}(2\sqrt{2}-3)}{\cancel{-2}}=2\sqrt{2}-3 \\ y=\frac{W_y}{W}=\frac{-\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2}=\frac{-(\cancel{\sqrt{2}+2)}}{\cancel{\sqrt{2}+2}}=-1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do rozwiązania zadania użyjemy metody wyznacznikowej. W tym przypadku będzie to najprostsza metoda ze względu na to, iż mamy do czynienia ze współczynnikami pierwiastkowymi.

Przy założeniu, że wyznacznik układu W jest różny od zera, rozwiązaniem układu jest:

$x=\frac{W_x}{W} \\ y=\frac{W_y}{W}$

Obliczmy więc wyznacznik układu:

$\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{2}&-(\sqrt{2}-1)\\2+\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{array}\right|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}-[-(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})]= \\ =2+2\sqrt{2}+2-2-\sqrt{2}=\sqrt{2}+2$ tło

Teraz wyznaczamy wyznacznik ze względu na x, zastępując współczynniki przy zmiennej>x wyrazami wolnymi:

$W_x=\left|\begin{array}{cc}3-2\sqrt{2}&-(\sqrt{2}-1)\\-2&\sqrt{2}\end{array}\right|=\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})-{(-2)\cdot [-(\sqrt{2}-1)]}= \\ =\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})-2(\sqrt{2}-1)=3\sqrt{2}-4-2\sqrt{2}+2=\sqrt{2}-2$

Obliczamy wyznacznik ze względu na y, zastępując współczynniki przy zmiennej y wyrazami wolnymi:

$W_y=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{2}&3-2\sqrt{2}\\2+\sqrt{2}&-2\end{array}\right|=-2\sqrt{2}-(3-2\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=\\ =-2\sqrt{2}-(6+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}-4)=-2\sqrt{2}-2+\sqrt{2}=-\sqrt{2}-2$

Mamy więc rozwiązanie (pamiętamy, że w wyniku pozbywamy się niewymierności z mianownika):

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2}=\frac{(\sqrt{2}-2)^2}{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)}=\frac{2-4\sqrt{2}+4}{2-4}=\frac{-4\sqrt{2}+6}{-2}=\\ =\frac{\cancel{-2}(2\sqrt{2}-3)}{\cancel{-2}}=2\sqrt{2}-3 \\ y=\frac{W_y}{W}=\frac{-\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2}=\frac{-(\cancel{\sqrt{2}+2)}}{\cancel{\sqrt{2}+2}}=-1$