Strona główna » Matematyka » Rozwiązywanie układów równań - metoda wyznacznikowa

Zadanie - układ równań liniowych z parametrem

Dla jakiej wartości parametru a układ równań
$\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}$
ma jedno rozwiązanie?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\begin{cases} (a-2)x+1\cdot y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}a-2&1\\-4&a+4\end{array}\right|=(a-2)(a+4)+4= \\ =a^2+4a-2a-8+4=a^2+2a-4$

$W\neq 0 \\ a^2+2a-4 \neq 0 \\ \Delta=2^2-4\cdot 1\cdot (-4)=4+16=20\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5} \\ a_1=\frac{-2-2\sqrt{5}}{2}=\frac{\cancel{2}(-1-\sqrt{5})}{\cancel{2}}=-1-\sqrt{5} \\ a_2=\frac{-2+2\sqrt{5}}{2}=\frac{\cancel{2}(-1+\sqrt{5})}{\cancel{2}}=-1+\sqrt{5}$
Dla $a_1=-1-\sqrt{5}, \ a_2=-1+\sqrt{5}$ układ równań posiada rozwiązanie.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Do rozwiązania tego zadania użyjemy metody wyznacznikowej. Metoda ta doskonale sprawdza się w zadaniach z parametrem.

Układ równań liniowych ma jedno rozwiązanie, gdy wyznacznik układu jest różny od zera. Obliczmy więc w pierwszej kolejności wyznacznik układu:

$\begin{cases} (a-2)x+1\cdot y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases} \\ W=\left|\begin{array}{cc}a-2&1\\-4&a+4\end{array}\right|=(a-2)(a+4)+4= \\ =a^2+4a-2a-8+4=a^2+2a-4$ tło

Aby układ równań miał rozwiązanie wyznacznik układu muszą być różny od zera. Powyższy wynik przyrównujemy do zera. Musimy teraz rozwiązać równanie kwadratowe

$W\neq 0 \\ a^2+2a-4 \neq 0 \\ \Delta=2^2-4\cdot 1\cdot (-4)=4+16=20\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5} \\ a_1=\frac{-2-2\sqrt{5}}{2}=\frac{\cancel{2}(-1-\sqrt{5})}{\cancel{2}}=-1-\sqrt{5} \\ a_2=\frac{-2+2\sqrt{5}}{2}=\frac{\cancel{2}(-1+\sqrt{5})}{\cancel{2}}=-1+\sqrt{5}$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania spełniające warunki zadania. Z treści zadania nie wynika iż trzeba podać rozwiązanie układu, więc tego nie robimy.