Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy kwadratowej A oznaczamy przez detA. Definiujemy go w następujący sposób:

Dla macierzy stopnia n=1: jeżeli A=[a₁₁], to detA=a₁₁.
Dla macierzy stopnia wyższego A=[a_ij], gdzie i,j=1,...,n:

$detA=\sum_{k=1}^n{(-1)^{k+1}a_{1k}detA_{1k}}$

Trzeba dodać, że detA_1k jest to wyznacznik macierzy, która powstała z macierzy A poprzez wykreślenie pierwszego wiersza i i-tej kolumny.

Wyznacznik macierzy A=[a_ij] oznaczamy często w następujący sposób:

$\left|\begin{array}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{array}\right|$

Wyznacznik macierzy kwadratowej

W przypadku macierzy kwadratowej (stopnia drugiego) wyznacznik obliczamy ze wzoru:

$\left|\begin{array}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$

Przykład

Obliczyć wyznacznik:

$\left|\begin{array}2&3\\4&5\end{array}\right|$

Rozwiązanie:

$\left|\begin{array}2&3\\4&5\end{array}\right|=2\cdot{5}-4\cdot{3}=10-12=-2$

Schemat Sarrusa

Schemat Sarrusa to prosta metoda na obliczanie wyznacznika macierzy trzeciego stopnia.

Najpierw zapisujemy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia, a następnie z prawej strony zapisujemy dwie pierwsze kolumny. Rysujemy przekątne, wzdłuż których mnożymy liczby. Iloczyn liczb po przekątnych w prawo zapisujemy ze znakiem "+", , iloczyn liczb po przekątnych w lewo zapisujemy ze znakiem "-".

Schemat Sarrusa

]

Kalkulator

Kalkulator
Wybierz rozmiar kwadratowej macierzy, podaj rzeczywiste współczynniki, a kalkulator obliczy wyznacznik.

Wpisz dane:

Rozmiar macierzy:

Wpisz wartości do macierzy:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹².
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Macierz

Macierz prostokątna o wymiarze n×m jest to układ liczb zapisanych w postaci tablicy o m wierszach i n kolumnach. Liczby w tablicy nazywamy elementami macierzy. Macierze zwykle oznaczamy literami wielkimi alfabetu.