Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy kwadratowej A oznaczamy przez detA. Definiujemy go w następujący sposób:

Dla macierzy stopnia \(n=1\): jeżeli \(A=[a_{11}]\), to \(det{A}=a_{11}\).
Dla macierzy stopnia wyższego \(A=[a_{ij}]\), gdzie \(i,j=1,...,n\):

\(detA=\displaystyle\sum_{k=1}^n{(-1)^{k+1}a_{1k}detA_{1k}} \)

Trzeba dodać, że \(detA_{1k}\) jest to wyznacznik macierzy, która powstała z macierzy A poprzez wykreślenie pierwszego wiersza i k-tej kolumny.

Wyznacznik macierzy \(A=[a_{ij}]\) oznaczamy często w następujący sposób:

\(\left|\begin{array}&a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ \\ \vdots & \vdots & \quad & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{array}\right|\)

Wyznacznik macierzy kwadratowej

W przypadku macierzy kwadratowej (stopnia drugiego) wyznacznik obliczamy ze wzoru:

\(\left|\begin{array}&a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\)

Przykłady

Obliczyć wyznacznik:

\(\left|\begin{array}&2 & 3\\4& 5\end{array}\right|\)

Rozwiązanie:

\(\left|\begin{array}&2&3\\4&5\end{array}\right|=2\cdot{5}-4\cdot{3}=10-12=-2\)

Schemat Sarrusa

Schemat Sarrusa to prosta metoda na obliczanie wyznacznika macierzy trzeciego stopnia.

Najpierw zapisujemy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia, a następnie z prawej strony zapisujemy dwie pierwsze kolumny. Rysujemy przekątne, wzdłuż których mnożymy liczby. Iloczyn liczb po przekątnych w prawo zapisujemy ze znakiem "+", , iloczyn liczb po przekątnych w lewo zapisujemy ze znakiem "-".

Schemat Sarrusa

Pytania

Do czego używamy wyznaczników?

Jednym z przykładów zastosowania wyznaczników jest rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników. Metoda wyznaczników została opisana w osobnym artykule, do którego link można znaleźć poniżej.

Kalkulator

Kalkulator umożliwia obliczanie wyznacznika macierzy 2x2, 3x3, 4x4, 5x5. Określ rozmiar macierzy, wypełnij pola, a następnie oblicz wyznacznik, wciskając przycisk pod macierzą.