Nierówność wykładnicza

Nierówność wykładnicza to taka nierówność, w której niewiadoma jest w wykładniku potęgi.

Przykład

Poniżej kilka przykładów nierówności wykładniczych.

$\2^x>3\\(\frac{1}{7})^x<2\\5^{x^2-3x+1}\geq{2}$

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej.

Jeżeli podstawa potęgi a>1, to funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji.

$a^x<a^y\Leftrightarrow{x<y}$

Przykład

Rozwiązać nierówność: $2^x\leq{8}$

Liczbę 8 należy wyrazić poprzez potęgę o podstawie 2 (8=2³) i ponieważ podstawa potęg jest większa od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, bez konieczności zmiany zwrotu nierówności.

$2^x\leq{8}\\2^x\leq{2^3}\\x\leq{3}$

Jest to rozwiązanie naszej nierówności.

Odpowiedź: $x\in(-\infty;3\rangle$

Jeżeli podstawa potęgi 0<a<1, to funkcja wykładnicza jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie (coraz większym argumentom odpowiadają coraz mniejsze wartości funkcji).

$a^x<a^y\Leftrightarrow{x>y}$

Przykład

Rozwiązać nierówność: $(\frac{1}{2})^{x}\leq{1}$

Liczbę 0 należy wyrazić poprzez potęgę o podstawie 1/2 (1=1/2⁰) i ponieważ podstawa potęg jest mniejsza od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, ale wymagana jest zmiana zwrotu nierówności.

$(\frac{1}{2})^{x}\leq{1}\\(\frac{1}{2})^{x}\leq(\frac{1}{2})^{0}\\x\geq{0}$