Nierówność wykładnicza

Nierówność wykładnicza to taka nierówność, w której niewiadoma jest w wykładniku potęgi.

Przykład

Poniżej kilka przykładów nierówności wykładniczych.

$\2^x>3\\(\frac{1}{7})^x<2\\5^{x^2-3x+1}\geq{2}$

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej.

Jeżeli podstawa potęgi a>1, to funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji.

$a^x<a^y\Leftrightarrow{x<y}$

Przykład

Rozwiązać nierówność: $2^x\leq{8}$

Liczbę 8 należy wyrazić poprzez potęgę o podstawie 2 (8=2³) i ponieważ podstawa potęg jest większa od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, bez konieczności zmiany zwrotu nierówności.

$2^x\leq{8}\\2^x\leq{2^3}\\x\leq{3}$

Jest to rozwiązanie naszej nierówności.

Odpowiedź: $x\in(-\infty;3\rangle$

Jeżeli podstawa potęgi 0<a<1, to funkcja wykładnicza jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie (coraz większym argumentom odpowiadają coraz mniejsze wartości funkcji).

$a^x<a^y\Leftrightarrow{x>y}$

Przykład

Rozwiązać nierówność: $(\frac{1}{2})^{x}\leq{1}$

Liczbę 0 należy wyrazić poprzez potęgę o podstawie 1/2 (1=1/2⁰) i ponieważ podstawa potęg jest mniejsza od jedności, nierówność wartości funkcji możemy zastąpić nierównością jej argumentów, ale wymagana jest zmiana zwrotu nierówności.

$(\frac{1}{2})^{x}\leq{1}\\(\frac{1}{2})^{x}\leq(\frac{1}{2})^{0}\\x\geq{0}$

Odpowiedź: $x\in{\langle{0};+\infty)}$

W osobnym artykule pokazujemy jak rozwiązujemy nierówności logarytmiczne oraz równania wykładnicze.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Nierówność wykładnicza

Zadanie - nierówność wykładnicza
Rozwiązać nierówność wykładniczą $\frac{3^{2x}}{9}\geq 1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność wykładnicza
Rozwiązać nierówność wykładniczą $(\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiąż nierówność wykładniczą
Rozwiązać nierówność wykładniczą $25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać nierówność wykładniczą
Rozwiązać nierówność wykładniczą $\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność wykładnicza
Rozwiązać nierówność wykładniczą $\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.