Strona główna » Matematyka » Nierówność wykładnicza

Zadanie - nierówność wykładnicza

Rozwiązać nierówność wykładniczą $\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq1 \\ \frac{3^{-1}\cdot (3^2)^{x-2}}{(3^3)^x}\geq1$
$\frac{3^{-1}\cdot 3^{2x-4}}{3^{3x}}\geq1 \\ \frac{3^{2x-5}}{3^{3x}}\geq 3^0 \\ 3^{2x-5-3x}\geq 3^0$
$3^{-x-5}\geq 3^0 \\ -x-5\geq 0 \\ -x\geq 5/\cdot(-1) \\ x\leq -5$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać tę nierówność wykładniczą, wszystkie liczby przedstawimy jako potęgi liczby 3. Naszym celem jest doprowadzenie nierówności do postaci, w której po obu stronach są potęgi o takich samych podstawach. Kolejne przekształcenia zostały oznaczone różnymi kolorami.

$\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq1 \\ \frac{3^{-1}\cdot (3^2)^{x-2}}{(3^3)^x}\geq1$ tło

Następnie korzystamy z podstawowej własności potęg:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

i otrzymujemy nierówność:

$\frac{3^{-1}\cdot 3^{2(x-2)}}{3^{3x}}\geq1 \\ \frac{3^{-1}\cdot 3^{2x-4}}{3^{3x}}\geq1$

Kolejnym krokiem jest wyrażenie liczby 1 po prawej stronie nierówności jako potęgę liczby 3 oraz skorzystanie w wyrażeniu po lewej stronie nierówności ze wzorów:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

$\frac{3^{-1}\cdot 3^{2x-4}}{3^{3x}}\geq1 \\ \frac{3^{2x-4+(-1)}}{3^{3x}}\geq 3^0 \\ \frac{3^{2x-5}}{3^{3x}}\geq 3^0 \\ 3^{2x-5-3x}\geq 3^0 \\ 3^{-x-5}\geq 3^0$ tło

Podstawa potęgi jest większa od jedności (równa 3), więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o tym samym zwrocie. (Możemy "opuścić" podstawy potęg bez zmiany zwrotu nierówności)

$3^{-x-5}\geq 3^0 \\ -x-5\geq 0 \\ -x\geq 5/\cdot(-1) \\ x\leq -5$