Nauka » Matematyka » Nierówność wykładnicza

Zadanie - nierówność wykładnicza

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq 1\).

Rozwiązanie zadania

Aby rozwiązać tę nierówność wykładniczą, wszystkie liczby przedstawimy jako potęgi liczby 3. Naszym celem jest doprowadzenie nierówności do postaci, w której po obu stronach są potęgi o takich samych podstawach.

\(\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq1\)

\(\frac{3^{-1}\cdot (3^2)^{x-2}}{(3^3)^x}\geq1\)

Następnie korzystamy z podstawowej własności potęg:

\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)

Otrzymujemy nierówność:

\(\frac{3^{-1}\cdot 3^{2(x-2)}}{3^{3x}}\geq1\)

\(\frac{3^{-1}\cdot 3^{2x-4}}{3^{3x}}\geq1\)

Kolejnym krokiem jest wyrażenie liczby 1 po prawej stronie nierówności jako potęgę liczby 3 oraz skorzystanie w wyrażeniu po lewej stronie nierówności ze wzorów:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
\(\frac{a^m}{a^n} =a^{m-n}\)

\(\frac{3^{-1}\cdot 3^{2x-4}}{3^{3x}}\geq1\)

\(\frac{3^{2x-4+(-1)}}{3^{3x}}\geq 3^0\)

\(\frac{3^{2x-5}}{3^{3x}}\geq 3^0\)

\(3^{2x-5-3x}\geq 3^0 \\ 3^{-x-5}\geq 3^0\)

Podstawa potęgi jest większa od jedności (równa 3), więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o tym samym zwrocie. (Możemy "opuścić" podstawy potęg bez zmiany zwrotu nierówności).

\(3^{-x-5}\geq 3^0\)

\(-x-5\geq 0\)

\(-x\geq 5/\cdot(-1)\)

\(x\leq -5\)