Strona główna » Matematyka » Nierówność wykładnicza

Zadanie - nierówność wykładnicza

Rozwiązać nierówność wykładniczą $\frac{3^{2x}}{9}\geq 1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{3^{2x}}{9}\geq 1 \\ \frac{3^{2x}}{3^2}\geq 3^0$
$3^{2x-2}\geq 3^0$
$2x-2\geq 0 \\ 2x\geq 2/:2 \\ x\geq 1$
Rozwiązaniem nierówności $\frac{3^{2x}}{9}\geq 1$ jest zbiór $\langle1;+\infty)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Na samym początku przekształcimy nieco lewą stronę naszej nierówności. Przedstawimy liczbę 9 jako kwadrat liczby 3 (fragment obliczeń zaznaczony na żółto) i skorzystamy z własności działań na potęgach (fragment obliczeń zaznaczony kolorem niebieskim):

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Mamy więc:

$\frac{3^{2x}}{9}\geq 1 \\ \frac{3^{2x}}{3^2}\geq 1 \\ 3^{2x-2}\geq 1$ tło

Liczbę 1 możemy przedstawić również jako potęgę liczby 3:

$3^{2x-2}\geq 1 \\ 3^{2x-2}\geq 3^0$ tło

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej. (Jeśli nie rozumiesz poniższego toku myślenia przeczytaj artykuł nadrzędny, do którego link jest w pasku nawigacyjnym.)

Podstawa potęgi a>1, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji. Możemy zapisać bez zmiany zwrotu nierówności:

$2x-2\geq 0 \\ 2x\geq 2/:2 \\ x\geq 1$