Nauka » Matematyka » Nierówność wykładnicza

Zadanie - nierówność wykładnicza

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{3^{2x}}{9}\geq 1\).

Rozwiązanie zadania

Na samym początku przekształcimy nieco lewą stronę naszej nierówności. Przedstawimy liczbę 9 jako kwadrat liczby 3 (fragment obliczeń zaznaczony na żółto) i skorzystamy z własności działań na potęgach:

\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

Mamy więc:

\(\frac{3^{2x}}{9}\geq 1\)

\(\frac{3^{2x}}{3^2}\geq 1\)

\(3^{2x-2}\geq 1\)

Liczbę 1 możemy przedstawić również jako potęgę liczby 3:

\(3^{2x-2}\geq 1\)

\(3^{2x-2}\geq 3^0\)

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej. (Jeśli nie rozumiesz poniższego toku myślenia przeczytaj artykuł nadrzędny, do którego link jest w pasku nawigacyjnym.)

Podstawa potęgi \(a>1\), więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji. Możemy zapisać bez zmiany zwrotu nierówności:

\(2x-2\geq 0\)

\(2x\geq 2/:2\)

\(x\geq 1\)

Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \(\frac{3^{2x}}{9}\geq 1\) jest zbiór \(\langle1;+\infty)\).

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \((\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq 1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.