Nauka » Matematyka » Nierówność wykładnicza

Zadanie - rozwiąż nierówność wykładniczą

Rozwiązać nierówność wykładniczą $25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0 \\ 5^2\cdot 5^{-x^2+5}-(5^{-1})^{3x}\geq 0 \\ 5^{2-x^2+5}-5^{-3x}\geq 0$
$5^{-x^2+7}\geq 5^{-3x} \\ -x^2+7\geq -3x \\ -x^2+3x+7\geq 0$
$\Delta=b^2-4ac=37\\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{37}}{-2}=\frac{3-\sqrt{37}}{2} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{37}}{-2}=\frac{3+\sqrt{37}}{2} \\ (x-x_1)(x-x_2)\geq 0$
Wykres pomocniczy

Rozwiązaniem nierówności $25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0$ jest zbiór $\langle \frac{3-\sqrt{37}}{2};\frac{3+\sqrt{37}}{2} \rangle$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzimy naszą nierówność do takiej postaci, aby mieć po obu stronach potęgi o jednakowych podstawach.

Liczbę 25 można przedstawić jako kwadrat liczby 5, natomiast liczbę 1/5 jako liczbę 5 podniesioną do potęgi -1. Następnie korzystamy z własności działań na potęgach

$a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\ (a^m)^n=a^{m\cdot n}$

$25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0 \\ 5^2\cdot 5^{-x^2+5}-(5^{-1})^{3x}\geq 0 \\ 5^{2-x^2+5}-5^{-3x}\geq 0 \\ 5^{-x^2+7}\geq 5^{-3x}$ tło

Podstawa potęgi a>1, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o tym samym zwrocie. Możemy zapisać:

$5^{-x^2+7}\geq 5^{-3x} \\ -x^2+7\geq -3x \\ -x^2+3x+7\geq 0$

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Znajdujemy pierwiastki trójmianu:

$-x^2+3x+7\geq 0 \\ a=-1 \\ b=3 \\ c=7 \\ \Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot (-1)\cdot 7=9+28=37\\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{37}}{-2}=\frac{3-\sqrt{37}}{2} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{37}}{-2}=\frac{3+\sqrt{37}}{2} \\ (x-x_1)(x-x_2)\geq 0$

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik a jest ujemny, ramiona paraboli są skierowane w dół, a wykres przecina oś OX w dwóch punktach (miejscach zerowych).

Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.