Zadanie - nierówność wykładnicza

Rozwiązanie zadania

Aby rozwiązać nierówność wykładniczą, powinniśmy doprowadzić ją do takiej postaci, aby po obu stronach nierówności były potęgi o takich samych podstawach.

Przekształcimy więc nieco prawą stronę nierówności. Przedstawimy liczbę 1/9 jako kwadrat liczby \(\frac{1}{3}\). Mamy więc:

\((\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}\)

\((\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq (\frac{1}{3})^2\)

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z własności monotoniczności funkcji wykładniczej. Dokładne objaśnienia znajdziesz w artykule nadrzędnym (patrz pasek nawigacji).

Podstawa potęgi jest ułamkiem (\(0<a<1\)), więc funkcja wykładnicza jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji, ale o przeciwnym zwrocie. Możemy zapisać, że:

\(-3x-2\leq 2\)

\(-3x\leq 4/:(-3)\)

\(x\geq -\frac{4}{3}\)

Dalej już rozwiązaliśmy zwykłą nierówność liniową, otrzymując rozwiązanie nierówności wykładniczej.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-21, ZAD-441

Zadania podobne

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{3^{2x}}{9}\geq 1\).

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0\).

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0\).

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq 1\).