Strona główna » Matematyka » Nierówność wykładnicza

Zadanie - nierówność wykładnicza

Rozwiązać nierówność wykładniczą $(\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$(\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9} \\ (\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq (\frac{1}{3})^2$
$-3x-2\leq 2 \\ -3x\leq 4/:(-3) \\ x\geq -\frac{4}{3}$

Rozwiązaniem nierówności $(\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}$ jest zbiór $\langle -\frac{4}{3};+\infty)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać nierówność wykładniczą powinniśmy doprowadzić ją do takiej postaci, aby po obu stronach nierówności były potęgi o takich samych podstawach.

Przekształcimy więc nieco prawą stronę nierówności. Przedstawimy liczbę 1/9 jako kwadrat liczby 1/3. Mamy więc

$(\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9} \\ (\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq (\frac{1}{3})^2$

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z własności monotoniczności funkcji wykładniczej. Dokładne objaśnienia znajdziesz w artykule nadrzędnym (patrz pasek nawigacji).

Podstawa potęgi jest ułamkiem (0<a<1), więc funkcja wykładnicza jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji, ale o przeciwnym zwrocie. Możemy zapisać, że:

$-3x-2\leq 2 \\ -3x\leq 4/:(-3) \\ x\geq -\frac{4}{3}$

Dalej już rozwiązaliśmy zwykłą nierówność liniową, otrzymując rozwiązanie nierówności wykładniczej.