Zadanie - rozwiązać nierówność wykładniczą

Rozwiązanie zadania uproszczone
Określamy dziedzinę nierówności.



Oznaczmy wielomian po lewej stronie nierówności przez W. Sporządzamy siatkę znaków
x | (-∞;1) | 1 | (1;2) | 2 | (2;4) | 4 | (4;+∞) |
t-1 | - | 0 | + | + | + | + | + |
t-2 | - | - | - | 0 | + | + | + |
t-4 | - | - | - | - | - | 0 | + |
W | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

Zaznaczamy rozwiązanie na osi liczbowej, pamiętając o dziedzinie nierówności wykładniczej.


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Na początek określamy dziedzinę nierówności. Mamy tutaj dwa ułamki, których mianowniki muszą być różne od zera.

Znak "∧" oznacza koniunkcję (iloczyn logiczny) i można go zastąpić spójnikiem "i" lub klamrą (stworzyć układ).
Zatem rozwiązań szukamy w zbiorze liczb rzeczywistych za wyjątkiem liczb 0 i 1.
Aby rozwiązać tę nierówność wykładniczą wygodnie jest zastosować podstawienie:

Najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, porządkujemy wyrazy, a następnie wykorzystujemy fakt, że znak iloczynu jest taki sam jak znak ilorazu - zastępujemy więc ułamek iloczynem licznika i mianownika.

Oznaczmy wielomian po lewej stronie nierówności przez W. Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian jest już w postaci iloczynowej, jego pierwiastkami są liczby 1,2 i 4. Sporządzamy siatkę znaków
x | (-∞;1) | 1 | (1;2) | 2 | (2;4) | 4 | (4;+∞) |
t-1 | - | 0 | + | + | + | + | + |
t-2 | - | - | - | 0 | + | + | + |
t-4 | - | - | - | - | - | 0 | + |
W | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału od minus nieskończoności do jeden , niech to będzie 0 i podstawmy do czynnika wielomianu t i otrzymujemy wynik t-1=0-1=-1, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)
Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny , więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Ponieważ szukamy wartości wielomianu mniejszych lub równych zeru, interesują nas przedziały z tabeli, dla których wielomian W jest ujemny.
Mamy więc rozwiązanie powyższej nierówności algebraicznej:
My jednak rozwiązujemy nierówność wykładniczą ze względu na zmienną x. Musimy zastosować podstawienie. Wcześniej jednak zapiszmy rozwiązanie nierówności wielomianowej w innej postaci:

Dlaczego tak? Gdy wrócimy do zmiennej x, łatwo nam będzie wykonywać dalsze rachunki, będziemy bowiem rozwiązywać nierówności wykładnicze.
Znak "∨" oznacza alternatywę (sumę logiczną) i można go zastąpić spójnikiem "lub". Sumę przedziałów zastąpiliśmy sumą logiczną zdań (dodatkowo drugi przedział zastąpiliśmy iloczynem logicznym dwóch nierówności)

Otrzymaliśmy powyżej trzy nierówności wykładnicze. Podstawa potęgi a>1, równa 2, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o tym samym zwrocie. (Możemy "opuścić" podstawy potęg bez zmiany zwrotu nierówności)
Zaznaczamy rozwiązanie na osi liczbowej, pamiętając o dziedzinie nierówności wykładniczej (zaznaczono na pomarańczowo).

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-27, ZAD-443
Zadania podobne

Rozwiązać nierówność wykładniczą

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność wykładniczą

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność wykładniczą

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność wykładniczą

Pokaż rozwiązanie zadania