Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - rozwiązać nierówność wykładniczą


Rozwiązać nierówność wykładniczą \frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę nierówności.

1-2^x\neq0 \ \wedge \ 2-2^x\neq0 \\ 2^x\neq 1 \ \wedge \ 2^x\neq 2 \\ 2^x\neq 2^0 \ \wedge \ 2^x\neq 2^1 \\ x\neq 0 \ \wedge \ x\neq 1
\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0 \\ 2^x=t \\ \frac{3}{1-t}-\frac{2}{2-t}\geq0
\frac{3(2-t)}{(2-t)(1-t)}-\frac{2(1-t)}{(2-t)(1-t)}\geq0 \\ \frac{6-3t-(2-2t)}{(2-t)(1-t)}\geq0 \\ \frac{-(t-4)}{(t-2)(t-1)}\geq0 /\cdot (-1) \\ \frac{t-4}{(t-2)(t-1)}\leq0 \\(t-4)(t-2)(t-1)\leq0

Oznaczmy wielomian po lewej stronie nierówności przez W. Sporządzamy siatkę znaków

x(-∞;1)1(1;2)2(2;4)4(4;+∞)
t-1-0+++++
t-2---0+++
t-4-----0+
W-0+0-0+

t\leq1 \ \vee \ (t\leq4 \ \wedge \ t\geq2) \\ t=2^x \\ 2^x\leq1 \ \vee \ (2^x\leq4 \ \wedge \ 2^x\geq2) \\ 2^x\leq 2^0 \ \vee \ (2^x\leq 2^2 \ \wedge \ 2^x\geq 2^1) \\ x\leq 0 \ \vee \ (x\leq 2 \ \wedge \ x\geq 1)

Zaznaczamy rozwiązanie na osi liczbowej, pamiętając o dziedzinie nierówności wykładniczej.

rysunek pomocniczy
x\in (-\infty;0)\cup (1;2\rangle

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Na początek określamy dziedzinę nierówności. Mamy tutaj dwa ułamki, których mianowniki muszą być różne od zera.

1-2^x\neq0 \ \wedge \ 2-2^x\neq0 \\ 2^x\neq 1 \ \wedge \ 2^x\neq 2 \\ 2^x\neq 2^0 \ \wedge \ 2^x\neq 2^1 \\ x\neq 0 \ \wedge \ x\neq 1

Znak "∧" oznacza koniunkcję (iloczyn logiczny) i można go zastąpić spójnikiem "i" lub klamrą (stworzyć układ).
Zatem rozwiązań szukamy w zbiorze liczb rzeczywistych za wyjątkiem liczb 0 i 1.


Aby rozwiązać tę nierówność wykładniczą wygodnie jest zastosować podstawienie:

\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0 \\ 2^x=t \\ \frac{3}{1-t}-\frac{2}{2-t}\geq0

Najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, porządkujemy wyrazy, a następnie wykorzystujemy fakt, że znak iloczynu jest taki sam jak znak ilorazu - zastępujemy więc ułamek iloczynem licznika i mianownika.

\frac{3}{1-t}-\frac{2}{2-t}\geq0 \\ \frac{3(2-t)}{(2-t)(1-t)}-\frac{2(1-t)}{(2-t)(1-t)}\geq0 \\ \frac{6-3t-(2-2t)}{(2-t)(1-t)}\geq0 \\ \frac{6-3t-2+2t}{-1\cdot(t-2)\cdot (-1)\cdot (t-1)}\geq0 \\ \frac{-(t-4)}{(t-2)(t-1)}\geq0 /\cdot (-1) \\ \frac{t-4}{(t-2)(t-1)}\leq0 \\(t-4)(t-2)(t-1)\leq0

Oznaczmy wielomian po lewej stronie nierówności przez W. Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian jest już w postaci iloczynowej, jego pierwiastkami są liczby 1,2 i 4. Sporządzamy siatkę znaków

x(-∞;1)1(1;2)2(2;4)4(4;+∞)
t-1-0+++++
t-2---0+++
t-4-----0+
W-0+0-0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału od minus nieskończoności do jeden , niech to będzie 0 i podstawmy do czynnika wielomianu t i otrzymujemy wynik t-1=0-1=-1, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)
Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1, więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)

Ponieważ szukamy wartości wielomianu mniejszych lub równych zeru, interesują nas przedziały z tabeli, dla których wielomian W jest ujemny. Mamy więc rozwiązanie powyższej nierówności algebraicznej: t\in (-\infty;1)\cup (2;4)

My jednak rozwiązujemy nierówność wykładniczą ze względu na zmienną x. Musimy zastosować podstawienie. Wcześniej jednak zapiszmy rozwiązanie nierówności wielomianowej w innej postaci:

t\leq1 \ \vee \ (t\leq4 \ \wedge \ t\geq2)

Dlaczego tak? Gdy wrócimy do zmiennej x, łatwo nam będzie wykonywać dalsze rachunki, będziemy bowiem rozwiązywać nierówności wykładnicze.

Znak "∨" oznacza alternatywę (sumę logiczną) i można go zastąpić spójnikiem "lub". Sumę przedziałów zastąpiliśmy sumą logiczną zdań (dodatkowo drugi przedział zastąpiliśmy iloczynem logicznym dwóch nierówności)

t\leq1 \ \vee \ (t\leq4 \ \wedge \ t\geq2) \\ t=2^x \\ 2^x\leq1 \ \vee \ (2^x\leq4 \ \wedge \ 2^x\geq2) \\ 2^x\leq 2^0 \ \vee \ (2^x\leq 2^2 \ \wedge \ 2^x\geq 2^1) \\ x\leq 0 \ \vee \ (x\leq 2 \ \wedge \ x\geq 1)

Otrzymaliśmy powyżej trzy nierówności wykładnicze. Podstawa potęgi a>1, równa 2, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o tym samym zwrocie. (Możemy "opuścić" podstawy potęg bez zmiany zwrotu nierówności)

Zaznaczamy rozwiązanie na osi liczbowej, pamiętając o dziedzinie nierówności wykładniczej (zaznaczono na pomarańczowo).

rysunek pomocniczy


ksiązki Odpowiedź

x\in (-\infty;0)\cup (1;2\rangle

© medianauka.pl, 2009-12-27, ZAD-443


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.