Strona główna » Matematyka » Nierówność wykładnicza

Zadanie - rozwiązać nierówność wykładniczą

Rozwiązać nierówność wykładniczą $\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Określamy dziedzinę nierówności.

$1-2^x\neq0 \ \wedge \ 2-2^x\neq0 \\ 2^x\neq 1 \ \wedge \ 2^x\neq 2 \\ 2^x\neq 2^0 \ \wedge \ 2^x\neq 2^1 \\ x\neq 0 \ \wedge \ x\neq 1$

$\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0 \\ 2^x=t \\ \frac{3}{1-t}-\frac{2}{2-t}\geq0$
$\frac{3(2-t)}{(2-t)(1-t)}-\frac{2(1-t)}{(2-t)(1-t)}\geq0 \\ \frac{6-3t-(2-2t)}{(2-t)(1-t)}\geq0 \\ \frac{-(t-4)}{(t-2)(t-1)}\geq0 /\cdot (-1) \\ \frac{t-4}{(t-2)(t-1)}\leq0 \\(t-4)(t-2)(t-1)\leq0$

Oznaczmy wielomian po lewej stronie nierówności przez W. Sporządzamy siatkę znaków

x	(-∞;1)	1	(1;2)	2	(2;4)	4	(4;+∞)
t-1	-	0	+	+	+	+	+
t-2	-	-	-	0	+	+	+
t-4	-	-	-	-	-	0	+
W	-	0	+	0	-	0	+

$t\leq1 \ \vee \ (t\leq4 \ \wedge \ t\geq2) \\ t=2^x \\ 2^x\leq1 \ \vee \ (2^x\leq4 \ \wedge \ 2^x\geq2) \\ 2^x\leq 2^0 \ \vee \ (2^x\leq 2^2 \ \wedge \ 2^x\geq 2^1) \\ x\leq 0 \ \vee \ (x\leq 2 \ \wedge \ x\geq 1)$

Zaznaczamy rozwiązanie na osi liczbowej, pamiętając o dziedzinie nierówności wykładniczej.

$x\in (-\infty;0)\cup (1;2\rangle$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Na początek określamy dziedzinę nierówności. Mamy tutaj dwa ułamki, których mianowniki muszą być różne od zera.

$1-2^x\neq0 \ \wedge \ 2-2^x\neq0 \\ 2^x\neq 1 \ \wedge \ 2^x\neq 2 \\ 2^x\neq 2^0 \ \wedge \ 2^x\neq 2^1 \\ x\neq 0 \ \wedge \ x\neq 1$

Znak "∧" oznacza koniunkcję (iloczyn logiczny) i można go zastąpić spójnikiem "i" lub klamrą (stworzyć układ).
Zatem rozwiązań szukamy w zbiorze liczb rzeczywistych za wyjątkiem liczb 0 i 1.

Aby rozwiązać tę nierówność wykładniczą wygodnie jest zastosować podstawienie:

$\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0 \\ 2^x=t \\ \frac{3}{1-t}-\frac{2}{2-t}\geq0$

Najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, porządkujemy wyrazy, a następnie wykorzystujemy fakt, że znak iloczynu jest taki sam jak znak ilorazu - zastępujemy więc ułamek iloczynem licznika i mianownika.

$\frac{3}{1-t}-\frac{2}{2-t}\geq0 \\ \frac{3(2-t)}{(2-t)(1-t)}-\frac{2(1-t)}{(2-t)(1-t)}\geq0 \\ \frac{6-3t-(2-2t)}{(2-t)(1-t)}\geq0 \\ \frac{6-3t-2+2t}{-1\cdot(t-2)\cdot (-1)\cdot (t-1)}\geq0 \\ \frac{-(t-4)}{(t-2)(t-1)}\geq0 /\cdot (-1) \\ \frac{t-4}{(t-2)(t-1)}\leq0 \\(t-4)(t-2)(t-1)\leq0$

Oznaczmy wielomian po lewej stronie nierówności przez W. Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian jest już w postaci iloczynowej, jego pierwiastkami są liczby 1,2 i 4. Sporządzamy siatkę znaków

x	(-∞;1)	1	(1;2)	2	(2;4)	4	(4;+∞)
t-1	-	0	+	+	+	+	+
t-2	-	-	-	0	+	+	+
t-4	-	-	-	-	-	0	+
W	-	0	+	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału od minus nieskończoności do jeden , niech to będzie 0 i podstawmy do czynnika wielomianu t i otrzymujemy wynik t-1=0-1=-1, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)
Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny $(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1$ , więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)

Ponieważ szukamy wartości wielomianu mniejszych lub równych zeru, interesują nas przedziały z tabeli, dla których wielomian W jest ujemny. Mamy więc rozwiązanie powyższej nierówności algebraicznej: $t\in (-\infty;1)\cup (2;4)$

My jednak rozwiązujemy nierówność wykładniczą ze względu na zmienną x. Musimy zastosować podstawienie. Wcześniej jednak zapiszmy rozwiązanie nierówności wielomianowej w innej postaci:

$t\leq1 \ \vee \ (t\leq4 \ \wedge \ t\geq2)$

Dlaczego tak? Gdy wrócimy do zmiennej x, łatwo nam będzie wykonywać dalsze rachunki, będziemy bowiem rozwiązywać nierówności wykładnicze.

Znak "∨" oznacza alternatywę (sumę logiczną) i można go zastąpić spójnikiem "lub". Sumę przedziałów zastąpiliśmy sumą logiczną zdań (dodatkowo drugi przedział zastąpiliśmy iloczynem logicznym dwóch nierówności)

Otrzymaliśmy powyżej trzy nierówności wykładnicze. Podstawa potęgi a>1, równa 2, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o tym samym zwrocie. (Możemy "opuścić" podstawy potęg bez zmiany zwrotu nierówności)

Zaznaczamy rozwiązanie na osi liczbowej, pamiętając o dziedzinie nierówności wykładniczej (zaznaczono na pomarańczowo).