Logarytm

Definicja

Logarytmem liczby $x>0$ przy podstawie $a$, gdzie $a>0$ i $a\neq 1$ nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę $a$, aby otrzymać liczbę $x$.

$\log_{a}x=y\Leftrightarrow a^y=x$

Przykłady

$\log_{2}32=5$, bo $2^5=32$
$\log_{5}1=0$, bo $5^0=1$
$\log_{\frac{1}{2}}4=-2$, bo $(\frac{1}{2})^{-2}=4$
$\log_{5}\frac{1}{5}=-1$, bo $5^{-1}=\frac{1}{5}$

Jak liczyć logarytmy?

Obliczając logarytm $\log_{a}b$, można sobie zadawać pytanie: „do której potęgi należy podnieść liczbę $a$, aby otrzymać liczbę $b$?”.

Podstawa logarytmu

W wyrażeniu $\log_{a}b$ liczbę $a$ nazywamy podstawą logarytmu i jest to zawsze liczba dodatnia oraz różna od jedności.

Poniższe zadanie ilustruje sposób obliczania bardziej skomplikowanych logarytmów.

Zadanie

Obliczyć $\log_{2}(8\sqrt[3]{2})$.

Układamy równanie: $\log_{2}(8\sqrt[3]{2})=x$ i na podstawie definicji logarytmu mamy: $2^x=8\sqrt[3]{2}$

Z własności działań na potęgach mamy:

$2^x=2^3\cdot 2^{\frac{1}{3}}$

$ 2^x=2^{(3+\frac{1}{3})}$

$ 2^x=2^{3\frac{1}{3}}$

$ x=3\frac{1}{3}$

Zatem: $\log_{2}(8\sqrt[3]{2})=3\frac{1}{3}$

Kalkulator

Kalkulator - logarytm
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu o dowolnej podstawie z podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana x:
Podstawa logarytmu a:

Rozwiązanie:

Logarytm dziesiętny

Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym.

$\log_{10}x=\log x$

Jeżeli więc nie podajemy podstawy logarytmu, mamy zawsze na myśli logarytm o podstawie 10.

Logarytm dziesiętny składa się z następujących składników:

cecha — jest to część całkowita logarytmu, to znaczy największa liczba całkowita nie większa od logarytmu, oznaczmy ją przez c (może być to liczba dodatnia, ujemna oraz zero),
mantysa — jest to różnica między logarytmem danej liczby, a cechą tego logarytmu, oznaczmy ją przez m (m spełnia warunek $0 \leq m < 1$).

Możemy więc zapisać, że $\log x=c+m$.

Przykłady

$\log 84=1+m_{1}$

W powyższym przykładzie wyznaczono cechę: ponieważ $10^1=10,\ a\ 10^2=100\ i\ 10<84<100$, więc 1 jest cechą tego logarytmu, m₁ jest mantysą. Widać teraz, że logarytm ten jest większy od 1 i mniejszy od 2. Mantysy zwykle odczytujemy z tablic matematycznych.

A oto inne przykłady:

$\log 100=2+0$

$ \log 840=2+m_{2}$

$ \log 24872=4+m_{3}$

$\log{\frac{1}{2}}=-1+m_{4}$

$ \log{0,02}=-2+m_{5}$

Kalkulator logarytmów dziesiętnych

Kalkulator — logarytm dziesiętny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu dziesiętnego podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana:

Rozwiązanie:

Logarytm naturalny

Logarytm naturalny liczby $x$ jest to logarytm po podstawie równej $e=2,718281828...$ (liczba Eulera) i oznaczamy go przez $\ln{x}$.

Co wyróżnia akurat taką podstawę logarytmu? Otóż pochodna tego logarytmu, jako jedynego jest równa $(\ln x)'=\frac{1}{x}$

Ze względu na tę własność często używamy logarytmów naturalnych na przykład przy okazji badania funkcji matematycznych, w obliczeniach w zaawansowanej geometrii analitycznej, rachunku różniczkowym, badaniu ciągów.

Kalkulator logarytmów naturalnych

Kalkulator — logarytm naturalny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu naturalnego podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana:

Rozwiązanie:

W kolejnym artykule poznamy wzory związane z logarytmami oraz własności logarytmów.

Pytania

Jak obliczyć logarytm w programie Excel?

Należy skorzystać z funkcji LOG, gdy chcemy obliczyć logarytm przy danej podstawie lub z funkcji LOG10, gdy chcemy obliczyć logarytm dziesiętny. Jeżeli dla przykładu w dowolnej komórce wpiszemy formułę "=LOG(8;2)" otrzymamy wynik logarytmu z ośmiu przy podstawie dwa, czyli liczbę 3.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Przedstaw liczbę $0,2$ jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz:

$a)\log_{3}{\frac{1}{3}} \\ b) \log_{\sqrt{2}}{2} \\ c) \log_{\frac{1}{3}}{9} \\ d) \log_{5}{5} \\ e) \log_{5}{1} \\ f) \log_{2}{\sqrt{2}} \\ g) \log_{3}{\sqrt[3]{3}} \\ h) \log_{2}{2\sqrt[3]{2}} \\ i) \log_{2}{256}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem $R=\log{\frac{A}{A_0}}$, gdzie $A$ oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, $A_0=10^{-4}\ cm$ jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile $6,2$ w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od $100\ cm$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Dane są liczby $a=-\frac{1}{27},\ b=\log_{\frac{1}{4}}{64},\ c=\log_{\frac{1}{3}}{27}$. Iloczyn $abc$ jest równy:

A. $-9$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $3$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Liczba $\log_{\sqrt{2}}2$ jest równa

A. $2$

B. $4$