Logarytm

Definicja

Logarytmem liczby \(x>0\) przy podstawie \(a\), gdzie \(a>0\) i \(a\neq 1\) nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę \(a\), aby otrzymać liczbę \(x\).

\(\log_{a}x=y\Leftrightarrow a^y=x\)

Przykłady

  • \(\log_{2}32=5\), bo \(2^5=32\)
  • \(\log_{5}1=0\), bo \(5^0=1\)
  • \(\log_{\frac{1}{2}}4=-2\), bo \((\frac{1}{2})^{-2}=4\)
  • \(\log_{5}\frac{1}{5}=-1\), bo \(5^{-1}=\frac{1}{5}\)

Jak liczyć logarytmy?

Obliczając logarytm \(\log_{a}b\), można sobie zadawać pytanie: „do której potęgi należy podnieść liczbę \(a\), aby otrzymać liczbę \(b\)?”.

Podstawa logarytmu

W wyrażeniu \(\log_{a}b\) liczbę \(a\) nazywamy podstawą logarytmu i jest to zawsze liczba dodatnia oraz różna od jedności.

Poniższe zadanie ilustruje sposób obliczania bardziej skomplikowanych logarytmów.

Zadanie

Obliczyć \(\log_{2}(8\sqrt[3]{2})\).

Układamy równanie: \(\log_{2}(8\sqrt[3]{2})=x\) i na podstawie definicji logarytmu mamy: \(2^x=8\sqrt[3]{2}\)

Z własności działań na potęgach mamy:

\(2^x=2^3\cdot 2^{\frac{1}{3}}\)

\( 2^x=2^{(3+\frac{1}{3})}\)

\( 2^x=2^{3\frac{1}{3}}\)

\( x=3\frac{1}{3}\)

Zatem: \(\log_{2}(8\sqrt[3]{2})=3\frac{1}{3}\)

Kalkulator

Kalkulator naukowy

Kalkulator - logarytm
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu o dowolnej podstawie z podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana x:
Podstawa logarytmu a:



Rozwiązanie:


Logarytm dziesiętny

Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym.

\(\log_{10}x=\log x\)

Jeżeli więc nie podajemy podstawy logarytmu, mamy zawsze na myśli logarytm o podstawie 10.

Logarytm dziesiętny składa się z następujących składników:

Możemy więc zapisać, że \(\log x=c+m\).

Przykłady

\(\log 84=1+m_{1}\)

W powyższym przykładzie wyznaczono cechę: ponieważ \(10^1=10,\ a\ 10^2=100\ i\ 10<84<100\), więc 1 jest cechą tego logarytmu, m1 jest mantysą. Widać teraz, że logarytm ten jest większy od 1 i mniejszy od 2. Mantysy zwykle odczytujemy z tablic matematycznych.

A oto inne przykłady:

\(\log 100=2+0\)

\( \log 840=2+m_{2}\)

\( \log 24872=4+m_{3}\)

\(\log{\frac{1}{2}}=-1+m_{4}\)

\( \log{0,02}=-2+m_{5}\)

Kalkulator logarytmów dziesiętnych

Kalkulator naukowy

Kalkulator — logarytm dziesiętny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu dziesiętnego podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana:



Rozwiązanie:


Logarytm naturalny

Logarytm naturalny liczby \(x\) jest to logarytm po podstawie równej \(e=2,718281828...\) (liczba Eulera) i oznaczamy go przez \(\ln{x}\).

Co wyróżnia akurat taką podstawę logarytmu? Otóż pochodna tego logarytmu, jako jedynego jest równa \((\ln x)'=\frac{1}{x}\)

Ze względu na tę własność często używamy logarytmów naturalnych na przykład przy okazji badania funkcji matematycznych, w obliczeniach w zaawansowanej geometrii analitycznej, rachunku różniczkowym, badaniu ciągów.

Kalkulator logarytmów naturalnych

Kalkulator naukowy

Kalkulator — logarytm naturalny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu naturalnego podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana:



Rozwiązanie:


W kolejnym artykule poznamy wzory związane z logarytmami oraz własności logarytmów.

Pytania

Jak obliczyć logarytm w programie Excel?

Należy skorzystać z funkcji LOG, gdy chcemy obliczyć logarytm przy danej podstawie lub z funkcji LOG10, gdy chcemy obliczyć logarytm dziesiętny. Jeżeli dla przykładu w dowolnej komórce wpiszemy formułę "=LOG(8;2)" otrzymamy wynik logarytmu z ośmiu przy podstawie dwa, czyli liczbę 3.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Przedstaw liczbę \(0,2\) jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Oblicz:

a)\log_{3}{\frac{1}{3}} \\ b) \log_{\sqrt{2}}{2} \\ c) \log_{\frac{1}{3}}{9} \\ d) \log_{5}{5} \\ e) \log_{5}{1} \\ f) \log_{2}{\sqrt{2}} \\ g) \log_{3}{\sqrt[3]{3}} \\ h) \log_{2}{2\sqrt[3]{2}} \\ i) \log_{2}{256}

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log{\frac{A}{A_0}}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\ cm\) jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6,2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od \(100\ cm\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Dane są liczby \(a=-\frac{1}{27},\ b=\log_{\frac{1}{4}}{64},\ c=\log_{\frac{1}{3}}{27}\). Iloczyn \(abc\) jest równy:

A. \(-9\)

B. \(-\frac{1}{3}\)

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}2\) jest równa

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(\sqrt{2}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-04-05, A-179
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-24



©® Media Nauka 2008-2023 r.