Logarytm

Definicja Definicja

Logarytmem liczby x>0 przy podstawie a, gdzie a>0 i a≠1 nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

\log_{a}x=y\Leftrightarrow a^y=x

Przykład Przykład

log232 = 5, bo 25 = 32
log51 = 0, bo 50 = 1
log1/24 = -2, bo (1/2)-2 = 4
log5(1/5) = -1, bo 5-1 = 1/5

Obliczając logarytm logab można sobie zadawać pytanie: "do której potęgi należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b?". Należy także zapamiętać, że w wyrażeniu logab a nazywamy podstawą logarytmu i jest to zawsze liczba dodatnia oraz nie może być jednością.

Poniższe zadanie ilustruje sposób obliczania bardziej skomplikowanych logarytmów.

zadanie Zadanie

Obliczyć \log_{2}(8\sqrt[3]{2}).

Układamy równanie: \log_{2}(8\sqrt[3]{2})=x i na podstawie definicji logarytmu mamy: 2^x=8\sqrt[3]{2}

Z własności działań na potęgach mamy:

2^x=2^3\cdot 2^{\frac{1}{3}}\\ 2^x=2^{(3+\frac{1}{3})}\\ 2^x=2^{3\frac{1}{3}}\\ x=3\frac{1}{3}
a zatem: \log_{2}(8\sqrt[3]{2})=3\frac{1}{3}

Kalkulator naukowy

Kalkulator - logarytm
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu o dowolnej podstawie z podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana x:
Podstawa logarytmu a:



Rozwiązanie:


Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

Logarytm dziesiętny

Teoria Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym.

\log_{10}x=\log x

Jeżeli więc nie podajemy podstawy logarytmu, mamy zawsze na myśli logarytm o podstawie 10.

Logarytm dziesiętny składa się z następujących składników:

  • cecha - jest to część całkowita logarytmu, to znaczy największa liczba całkowita nie większa od logarytmu, oznaczmy ją przez c (może być to liczba dodatnia, ujemna oraz zero),
  • mantysa - jest to różnica między logarytmem danej liczby, a cechą tego logarytmu, oznaczmy ją przez m (m spełnia warunek 0 ≤ m < 1).

Możemy więc zapisać, że \log x=c+m.

Przykład Przykład


\log 84=1+m_{1}

W powyższym przykładzie wyznaczono cechę: ponieważ 101=10, a 102=100 i 10<84<100, więc 1 jest cechą tego logarytmu, m1 jest mantysą. Widać teraz, że logarytm ten jest większy od 1 i mniejszy od 2. Mantysy zwykle odczytujemy z tablic matematycznych.

A oto inne przykłady:

\log 100=2+0\\ \log 840=2+m_{2}\\ \log 24872=4+m_{3}\\ \log{\frac{1}{2}}=-1+m_{4}\\ \log{0,02}=-2+m_{5}

Kalkulator naukowy

Kalkulator - logarytm dziesiętny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu dziesiętnego podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana:



Rozwiązanie:


Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

Logarytm naturalny

Teoria Logarytm naturalny liczby x jest to logarytm po podstawie równej e=2,718281828... (liczba Eulera) i oznaczamy go przez ln x

Co wyróżnia akurat taką podstawę logarytmu? Otóż pochodna tego logarytmu, jako jedynego jest równa (\ln x)'=\frac{1}{x}

Ze względu na tę własność często używamy logarytmów naturalnych na przykład przy okazji badania funkcji matematycznych, w obliczeniach w zaawansowanej geometrii analitycznej, rachunku różniczkowym, badaniu ciągów.

Kalkulator naukowy

Kalkulator - logarytm naturalny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu naturalnego podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana:



Rozwiązanie:


Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

W kolejnym artykule poznamy wzory związane z logarytmami oraz własności logarytmów.

Pytania

Jak obliczyć logarytm w programie Excel?

Należy skorzystać z funkcji LOG, gdy chcemy obliczyć logarytm przy danej podstawie lub z funkcji LOG10, gdy chcemy obliczyć logarytm dziesiętny. Jeżeli dla przykładu w dowolnej komórce wpiszemy formułę "=LOG(8;2)" otrzymamy wynik logarytmu z ośmiu przy podstawie dwa, czyli liczbę 3.



© medianauka.pl, 2009-04-05, ART-179
Data aktualizacji artykułu: 2018-02-25




Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Logarytm

zadanie-ikonka Zadanie - wyznaczanie logarytmów, logarytmy, obliczanie logarytmów
Przedstaw liczbę 0,2 jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - oblicznie logarytmów
Oblicz:
a)\log_{3}{\frac{1}{3}} \\ b) \log_{\sqrt{2}}{2} \\ c) \log_{\frac{1}{3}}{9} \\ d) \log_{5}{5} \\ e) \log_{5}{1} \\ f) \log_{2}{\sqrt{2}} \\ g) \log_{3}{\sqrt[3]{3}} \\ h) \log_{2}{2\sqrt[3]{2}} \\ i) \log_{2}{256}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 31, matura 2016 (poziom podstawowy)
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R=log\frac{A}{A_0}, gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A0=10-4 cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom podstawowy)
Dane są liczby a=-\frac{1}{27},\quad b=\log_{\frac{1}{4}}{64},\quad c=\log_{\frac{1}{3}}{27}. Iloczyn abc jest równy:

A. -9
B. -1/3
C. 1/3
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Własności logarytmówWłasności logarytmów
Własności logarytmów, zadania, przykłady, działania na logarytmach, dodawanie , odejmowanie, mnożenie logarytmów



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.