Logarytm

Definicja

Logarytmem liczby x>0 przy podstawie a, gdzie a>0 i a≠1 nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

$\log_{a}x=y\Leftrightarrow a^y=x$

Przykład

log₂32 = 5, bo 2⁵ = 32
log₅1 = 0, bo 5⁰ = 1
log_1/24 = -2, bo (1/2)^-2 = 4
log₅(1/5) = -1, bo 5^-1 = 1/5

Obliczając logarytm log_ab można sobie zadawać pytanie: "do której potęgi należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b?". Należy także zapamiętać, że w wyrażeniu log_ab a nazywamy podstawą logarytmu i jest to zawsze liczba dodatnia oraz nie może być jednością.

Poniższe zadanie ilustruje sposób obliczania bardziej skomplikowanych logarytmów.

Zadanie

Obliczyć $\log_{2}(8\sqrt[3]{2})$ .

Układamy równanie: $\log_{2}(8\sqrt[3]{2})=x$ i na podstawie definicji logarytmu mamy: $2^x=8\sqrt[3]{2}$

Z własności działań na potęgach mamy:

$2^x=2^3\cdot 2^{\frac{1}{3}}\\ 2^x=2^{(3+\frac{1}{3})}\\ 2^x=2^{3\frac{1}{3}}\\ x=3\frac{1}{3}$
a zatem: $\log_{2}(8\sqrt[3]{2})=3\frac{1}{3}$

Kalkulator - logarytm
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu o dowolnej podstawie z podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana x:
Podstawa logarytmu a:

Rozwiązanie:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹².
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

Logarytm dziesiętny

Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym.

$\log_{10}x=\log x$

Jeżeli więc nie podajemy podstawy logarytmu, mamy zawsze na myśli logarytm o podstawie 10.

Logarytm dziesiętny składa się z następujących składników:

cecha - jest to część całkowita logarytmu, to znaczy największa liczba całkowita nie większa od logarytmu, oznaczmy ją przez c (może być to liczba dodatnia, ujemna oraz zero),
mantysa - jest to różnica między logarytmem danej liczby, a cechą tego logarytmu, oznaczmy ją przez m (m spełnia warunek 0 ≤ m < 1).

Możemy więc zapisać, że $\log x=c+m$ .

Przykład

$\log 84=1+m_{1}$

W powyższym przykładzie wyznaczono cechę: ponieważ 10¹=10, a 10²=100 i 10<84<100, więc 1 jest cechą tego logarytmu, m₁ jest mantysą. Widać teraz, że logarytm ten jest większy od 1 i mniejszy od 2. Mantysy zwykle odczytujemy z tablic matematycznych.

A oto inne przykłady:

$\log 100=2+0\\ \log 840=2+m_{2}\\ \log 24872=4+m_{3}\\ \log{\frac{1}{2}}=-1+m_{4}\\ \log{0,02}=-2+m_{5}$

Kalkulator - logarytm dziesiętny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu dziesiętnego podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana:

Rozwiązanie:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹².
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

Logarytm naturalny

Logarytm naturalny liczby x jest to logarytm po podstawie równej e=2,718281828... (liczba Eulera) i oznaczamy go przez ln x

Co wyróżnia akurat taką podstawę logarytmu? Otóż pochodna tego logarytmu, jako jedynego jest równa $(\ln x)'=\frac{1}{x}$

Ze względu na tę własność często używamy logarytmów naturalnych na przykład przy okazji badania funkcji matematycznych, w obliczeniach w zaawansowanej geometrii analitycznej, rachunku różniczkowym, badaniu ciągów.

Kalkulator - logarytm naturalny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu naturalnego podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana:

Rozwiązanie:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹².
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

W kolejnym artykule poznamy wzory związane z logarytmami oraz własności logarytmów.

Pytania

Jak obliczyć logarytm w programie Excel?

Należy skorzystać z funkcji LOG, gdy chcemy obliczyć logarytm przy danej podstawie lub z funkcji LOG10, gdy chcemy obliczyć logarytm dziesiętny. Jeżeli dla przykładu w dowolnej komórce wpiszemy formułę "=LOG(8;2)" otrzymamy wynik logarytmu z ośmiu przy podstawie dwa, czyli liczbę 3.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Logarytm

Zadanie - wyznaczanie logarytmów, logarytmy, obliczanie logarytmów
Przedstaw liczbę 0,2 jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - oblicznie logarytmów
Oblicz:
$a)\log_{3}{\frac{1}{3}} \\ b) \log_{\sqrt{2}}{2} \\ c) \log_{\frac{1}{3}}{9} \\ d) \log_{5}{5} \\ e) \log_{5}{1} \\ f) \log_{2}{\sqrt{2}} \\ g) \log_{3}{\sqrt[3]{3}} \\ h) \log_{2}{2\sqrt[3]{2}} \\ i) \log_{2}{256}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 31, matura 2016 (poziom podstawowy)
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem $R=log\frac{A}{A_0}$ , gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A₀=10^-4 cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom podstawowy)
Dane są liczby $a=-\frac{1}{27},\quad b=\log_{\frac{1}{4}}{64},\quad c=\log_{\frac{1}{3}}{27}$ . Iloczyn abc jest równy:

A. -9
B. -1/3
C. 1/3
D. 3