Logarytm

Definicja

Logarytmem liczby x>0 przy podstawie a, gdzie a>0 i a≠1 nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

$\log_{a}x=y\Leftrightarrow a^y=x$

Przykład

log₂32 = 5, bo 2⁵ = 32
log₅1 = 0, bo 5⁰ = 1
log_1/24 = -2, bo (1/2)^-2 = 4
log₅(1/5) = -1, bo 5^-1 = 1/5

Obliczając logarytm log_ab można sobie zadawać pytanie: "do której potęgi należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b?". Należy także zapamiętać, że w wyrażeniu log_ab a nazywamy podstawą logarytmu i jest to zawsze liczba dodatnia oraz nie może być jednością.

Poniższe zadanie ilustruje sposób obliczania bardziej skomplikowanych logarytmów.

Zadanie

Obliczyć $\log_{2}(8\sqrt[3]{2})$ .

Układamy równanie: $\log_{2}(8\sqrt[3]{2})=x$ i na podstawie definicji logarytmu mamy: $2^x=8\sqrt[3]{2}$

Z własności działań na potęgach mamy:

$2^x=2^3\cdot 2^{\frac{1}{3}}\\ 2^x=2^{(3+\frac{1}{3})}\\ 2^x=2^{3\frac{1}{3}}\\ x=3\frac{1}{3}$
a zatem: $\log_{2}(8\sqrt[3]{2})=3\frac{1}{3}$

© medianauka.pl, 2009-04-05, ART-179

Inne zagadnienia z tej lekcji

Logarytm

Własności logarytmów

Własności logarytmów

Logarytm dziesiętny

Logarytm dziesiętny

Logarytm naturalny

Logarytm naturalny

Zadania z rozwiązaniami

spis treści

Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.

Zadanie - wyznaczanie logarytmów, logarytmy, obliczanie logarytmów
Przedstaw liczbę 0,2 jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.

Zadanie - oblicznie logarytmów
Oblicz:
$a)\log_{3}{\frac{1}{3}} \\ b) \log_{\sqrt{2}}{2} \\ c) \log_{\frac{1}{3}}{9} \\ d) \log_{5}{5} \\ e) \log_{5}{1} \\ f) \log_{2}{\sqrt{2}} \\ g) \log_{3}{\sqrt[3]{3}} \\ h) \log_{2}{2\sqrt[3]{2}} \\ i) \log_{2}{256}$

Zadanie maturalne nr 31, matura 2016 (poziom podstawowy)
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem $R=log\frac{A}{A_0}$ , gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A₀=10^-4 cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom podstawowy)
Dane są liczby $a=-\frac{1}{27},\quad b=\log_{\frac{1}{4}}{64},\quad c=\log_{\frac{1}{3}}{27}$ . Iloczyn abc jest równy:

A. -9
B. -1/3
C. 1/3
D. 3

Polecamy

Liczby natury

Liczby natury
Ian Stewart

110 zadań o funkcjach trygonometrycznych

110 zadań o funkcjach trygonometrycznych
Regel Wiesława

Wszechświat w lustrzanym odbiciu

Wszechświat w lustrzanym odbiciu
Dave Golberg

Człowiek i Wszechświat

Człowiek i Wszechświat
Brian Cox, Andrew Cohen

© Media Nauka 2008-2017 r.