Logo Media Nauka

Facebook

Logarytm

Definicja Definicja

Logarytmem liczby x>0 przy podstawie a, gdzie a>0 i a≠1 nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

\log_{a}x=y\Leftrightarrow a^y=x

Przykład Przykład

log232 = 5, bo 25 = 32
log51 = 0, bo 50 = 1
log1/24 = -2, bo (1/2)-2 = 4
log5(1/5) = -1, bo 5-1 = 1/5

Obliczając logarytm logab można sobie zadawać pytanie: "do której potęgi należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b?". Należy także zapamiętać, że w wyrażeniu logab a nazywamy podstawą logarytmu i jest to zawsze liczba dodatnia oraz nie może być jednością.

Poniższe zadanie ilustruje sposób obliczania bardziej skomplikowanych logarytmów.

zadanie Zadanie

Obliczyć \log_{2}(8\sqrt[3]{2}).

Układamy równanie: \log_{2}(8\sqrt[3]{2})=x i na podstawie definicji logarytmu mamy: 2^x=8\sqrt[3]{2}

Z własności działań na potęgach mamy:

2^x=2^3\cdot 2^{\frac{1}{3}}\\ 2^x=2^{(3+\frac{1}{3})}\\ 2^x=2^{3\frac{1}{3}}\\ x=3\frac{1}{3}
a zatem: \log_{2}(8\sqrt[3]{2})=3\frac{1}{3}

Kalkulator naukowy

Kalkulator - logarytm
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu o dowolnej podstawie z podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana x:
Podstawa logarytmu a:



Rozwiązanie:


Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

Logarytm dziesiętny

Teoria Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym.

\log_{10}x=\log x

Jeżeli więc nie podajemy podstawy logarytmu, mamy zawsze na myśli logarytm o podstawie 10.

Logarytm dziesiętny składa się z następujących składników:

  • cecha - jest to część całkowita logarytmu, to znaczy największa liczba całkowita nie większa od logarytmu, oznaczmy ją przez c (może być to liczba dodatnia, ujemna oraz zero),
  • mantysa - jest to różnica między logarytmem danej liczby, a cechą tego logarytmu, oznaczmy ją przez m (m spełnia warunek 0 ≤ m < 1).

Możemy więc zapisać, że \log x=c+m.

Przykład Przykład


\log 84=1+m_{1}

W powyższym przykładzie wyznaczono cechę: ponieważ 101=10, a 102=100 i 10<84<100, więc 1 jest cechą tego logarytmu, m1 jest mantysą. Widać teraz, że logarytm ten jest większy od 1 i mniejszy od 2. Mantysy zwykle odczytujemy z tablic matematycznych.

A oto inne przykłady:

\log 100=2+0\\ \log 840=2+m_{2}\\ \log 24872=4+m_{3}\\ \log{\frac{1}{2}}=-1+m_{4}\\ \log{0,02}=-2+m_{5}

Kalkulator naukowy

Kalkulator - logarytm dziesiętny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu dziesiętnego podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana:



Rozwiązanie:


Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

Logarytm naturalny

Teoria Logarytm naturalny liczby x jest to logarytm po podstawie równej e=2,718281828... (liczba Eulera) i oznaczamy go przez ln x

Co wyróżnia akurat taką podstawę logarytmu? Otóż pochodna tego logarytmu, jako jedynego jest równa (\ln x)'=\frac{1}{x}

Ze względu na tę własność często używamy logarytmów naturalnych na przykład przy okazji badania funkcji matematycznych, w obliczeniach w zaawansowanej geometrii analitycznej, rachunku różniczkowym, badaniu ciągów.

Kalkulator naukowy

Kalkulator - logarytm naturalny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu naturalnego podanej liczby.

Wpisz dane:
Liczba logarytmowana:



Rozwiązanie:


Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

W kolejnym artykule poznamy wzory związane z logarytmami oraz własności logarytmów.

Pytania

Jak obliczyć logarytm w programie Excel?

Należy skorzystać z funkcji LOG, gdy chcemy obliczyć logarytm przy danej podstawie lub z funkcji LOG10, gdy chcemy obliczyć logarytm dziesiętny. Jeżeli dla przykładu w dowolnej komórce wpiszemy formułę "=LOG(8;2)" otrzymamy wynik logarytmu z ośmiu przy podstawie dwa, czyli liczbę 3.



© medianauka.pl, 2009-04-05, ART-179
Data aktualizacji artykułu: 2018-02-25




Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Logarytm

zadanie-ikonka Zadanie - wyznaczanie logarytmów, logarytmy, obliczanie logarytmów
Przedstaw liczbę 0,2 jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - oblicznie logarytmów
Oblicz:
a)\log_{3}{\frac{1}{3}} \\ b) \log_{\sqrt{2}}{2} \\ c) \log_{\frac{1}{3}}{9} \\ d) \log_{5}{5} \\ e) \log_{5}{1} \\ f) \log_{2}{\sqrt{2}} \\ g) \log_{3}{\sqrt[3]{3}} \\ h) \log_{2}{2\sqrt[3]{2}} \\ i) \log_{2}{256}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 31, matura 2016 (poziom podstawowy)
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R=log\frac{A}{A_0}, gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A0=10-4 cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom podstawowy)
Dane są liczby a=-\frac{1}{27},\quad b=\log_{\frac{1}{4}}{64},\quad c=\log_{\frac{1}{3}}{27}. Iloczyn abc jest równy:

A. -9
B. -1/3
C. 1/3
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Własności logarytmówWłasności logarytmów
Własności logarytmów, zadania, przykłady, działania na logarytmach, dodawanie , odejmowanie, mnożenie logarytmów
TestTest wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.








Polecamy w naszym sklepie

Rodzinna matematyka
BrainBox - Matematyka dla najmłodszych
Krótka historia wielkich umysłów
50 wielkich idei które powinieneś znać
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.