Logarytm
Definicja
Logarytmem liczby x>0 przy podstawie a, gdzie a>0 i a≠1 nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

Przykład
log232 = 5, bo 25 = 32
log51 = 0, bo 50 = 1
log1/24 = -2, bo (1/2)-2 = 4
log5(1/5) = -1, bo 5-1 = 1/5
Obliczając logarytm logab można sobie zadawać pytanie: "do której potęgi należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b?". Należy także zapamiętać, że w wyrażeniu logab a nazywamy podstawą logarytmu i jest to zawsze liczba dodatnia oraz nie może być jednością.
Poniższe zadanie ilustruje sposób obliczania bardziej skomplikowanych logarytmów.
Zadanie
Obliczyć .
Układamy równanie: i na podstawie definicji logarytmu mamy:
Z własności działań na potęgach mamy:
a zatem:

Kalkulator - logarytm
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu o dowolnej podstawie z podanej liczby.
Liczba logarytmowana x:
Podstawa logarytmu a:
Objaśnienia:
- Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
- Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
- Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
Logarytm dziesiętny
Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym.

Jeżeli więc nie podajemy podstawy logarytmu, mamy zawsze na myśli logarytm o podstawie 10.
Logarytm dziesiętny składa się z następujących składników:
- cecha - jest to część całkowita logarytmu, to znaczy największa liczba całkowita nie większa od logarytmu, oznaczmy ją przez c (może być to liczba dodatnia, ujemna oraz zero),
- mantysa - jest to różnica między logarytmem danej liczby, a cechą tego logarytmu, oznaczmy ją przez m (m spełnia warunek 0 ≤ m < 1).
Możemy więc zapisać, że .
Przykład
W powyższym przykładzie wyznaczono cechę: ponieważ 101=10, a 102=100 i 10<84<100, więc 1 jest cechą tego logarytmu, m1 jest mantysą. Widać teraz, że logarytm ten jest większy od 1 i mniejszy od 2. Mantysy zwykle odczytujemy z tablic matematycznych.
A oto inne przykłady:

Kalkulator - logarytm dziesiętny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu dziesiętnego podanej liczby.
Liczba logarytmowana:
Objaśnienia:
- Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
- Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
- Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
Logarytm naturalny
Logarytm naturalny liczby x jest to logarytm po podstawie równej e=2,718281828... (liczba Eulera) i oznaczamy go przez ln x
Co wyróżnia akurat taką podstawę logarytmu? Otóż pochodna tego logarytmu, jako jedynego jest równa
Ze względu na tę własność często używamy logarytmów naturalnych na przykład przy okazji badania funkcji matematycznych, w obliczeniach w zaawansowanej geometrii analitycznej, rachunku różniczkowym, badaniu ciągów.

Kalkulator - logarytm naturalny
Nasz kalkulator online oblicza wartość logarytmu naturalnego podanej liczby.
Liczba logarytmowana:
Objaśnienia:
- Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
- Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012.
- Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
W kolejnym artykule poznamy wzory związane z logarytmami oraz własności logarytmów.
Pytania
Jak obliczyć logarytm w programie Excel?
Należy skorzystać z funkcji LOG, gdy chcemy obliczyć logarytm przy danej podstawie lub z funkcji LOG10, gdy chcemy obliczyć logarytm dziesiętny. Jeżeli dla przykładu w dowolnej komórce wpiszemy formułę "=LOG(8;2)" otrzymamy wynik logarytmu z ośmiu przy podstawie dwa, czyli liczbę 3.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Przedstaw liczbę 0,2 jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.Zadanie nr 3 — maturalne.
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dane są liczby
A. -9
B. -1/3
C. 1/3
D. 3
Inne zagadnienia z tej lekcji
Własności logarytmów

Własności logarytmów, zadania, przykłady, działania na logarytmach, dodawanie , odejmowanie, mnożenie logarytmów
© medianauka.pl, 2009-04-05, ART-179
Data aktualizacji artykułu: 2018-02-25