Nauka » Matematyka » Logarytm

Zadanie - wyznaczanie logarytmów, logarytmy, obliczanie logarytmów

Przedstaw liczbę 0,2 jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$0,2=\frac{1}{5}+1-1=\log_{2}{\sqrt[5]{2}}+\log_{3}{3}+\log_{4}{\frac{1}{4}}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wystarczy przedstawić liczbę 0,2 jako sumę trzech dowolnych liczb, a następnie wyrazić je w postaci dowolnych logarytmów o różnych podstawach. Zauważ, że zadanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdyż każdą liczbę można przedstawić jako sumę trzech innych liczb na nieskończenie wiele sposobów. Tutaj wystarczy podać jeden z takich przykładów.

$0,2=\frac{1}{5}+1+(-1)$

Jak przedstawić liczbę 1/5 w postaci dowolnego logarytmu? Skorzystamy z pewnej własności potęg:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\ dla \ n\in N, \ a\geq 0$

Niech podstawą naszego logarytmu będzie liczba 2.
Zatem:
$\frac{1}{5}=\log_{2}{\sqrt[5]{2}},\ bo \ 2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}$

W pozostałych przypadkach obierzmy sobie podstawy logarytmu liczby 3 i 4. Mamy więc
$1=\log_{3}{3},\ bo \ 3^1=3$
$-1=\log_{4}{\frac{1}{4}},\ bo \ 4^{-1}=\frac{1}{4}$

Mamy już przykładowe rozwiązanie naszego zadania

$0,2=\frac{1}{5}+1-1=\log_{2}{\sqrt[5]{2}}+\log_{3}{3}+\log_{4}{\frac{1}{4}}$

Odpowiedź

Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego zadania. Jedno z nich zostało przedstawione poniżej:

$0,2=\log_{2}{\sqrt[5]{2}}+\log_{3}{3}+\log_{4}{\frac{1}{4}}$

Zadania podobne

Zadanie - oblicznie logarytmów
Oblicz:
$a)\log_{3}{\frac{1}{3}} \\ b) \log_{\sqrt{2}}{2} \\ c) \log_{\frac{1}{3}}{9} \\ d) \log_{5}{5} \\ e) \log_{5}{1} \\ f) \log_{2}{\sqrt{2}} \\ g) \log_{3}{\sqrt[3]{3}} \\ h) \log_{2}{2\sqrt[3]{2}} \\ i) \log_{2}{256}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 31, matura 2016 (poziom podstawowy)
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem $R=log\frac{A}{A_0}$ , gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A₀=10^-4 cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom podstawowy)
Dane są liczby $a=-\frac{1}{27},\quad b=\log_{\frac{1}{4}}{64},\quad c=\log_{\frac{1}{3}}{27}$ . Iloczyn abc jest równy:

A. -9
B. -1/3
C. 1/3
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania