Nauka » Matematyka » Nierówność

Zadanie maturalne nr 2, matura 2019 - poziom rozszerzony

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich że x < y , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest nierówność:

$\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2$

Rozwiązanie zadania

Mamy wyrażenie:

$\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2$

$\frac{(x+a)x}{(y+a)x}+\frac{y(y+a)}{x(y+a)}-\frac{2x(y+a)}{(y+a)x}>0 $

$\frac{(x+a)x+y(y+a)-2x(y+a)}{(y+a)x}>0$

$\frac{x^2+ax+y^2+ay-2xy-2ax}{x(y+a)}>0$

Pogrupujmy i zredukujmy wyrazy w liczniku:

$\frac{(x^2-2xy+y^2)+ay-ax}{x(y+a)}>0$

$\frac{(x+y)^2+a(y-x)}{x(y+a)}>0$

Zauważmy, że x, y i a są liczbami dodatnimi, dodatnie są też ich sumy i kwadraty, a ponieważ z warunków zadnia wynika, że y>x, to y-x>0. Zatem wszystkie wyrazy w l;liczniku i mianowniku są dodatnie, a co za tym idzie całe wyrażenie jest dodatnie, co należało dowieść.

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jedną z liczb, które spełniają nierówność

jest:

A. 1
B. -1
C. 2
D. -2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2017 (poziom podstawowy)
Do zbioru rozwiązań nierówności (x⁴ + 1)(2 - x) > 0 nie należy:

A. -3
B. -1
C. 1
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 28, matura 2018

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność.

$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2020

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3(1− x) > 2(3x −1) −12x jest przedział

A. (-5/3,+∞)

B. (-∞,5/3)

C. (5/3,+∞)

D. (-∞,-5/3)

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.