Zadanie maturalne nr 2, matura 2019 - poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich że x < y , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest nierówność:
Rozwiązanie zadania
Mamy wyrażenie:
\(\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2\)
\(\frac{(x+a)x}{(y+a)x}+\frac{y(y+a)}{x(y+a)}-\frac{2x(y+a)}{(y+a)x}>0 \)
\(\frac{(x+a)x+y(y+a)-2x(y+a)}{(y+a)x}>0\)
\(\frac{x^2+ax+y^2+ay-2xy-2ax}{x(y+a)}>0\)
Pogrupujmy i zredukujmy wyrazy w liczniku:
\(\frac{(x^2-2xy+y^2)+ay-ax}{x(y+a)}>0\)
\(\frac{(x+y)^2+a(y-x)}{x(y+a)}>0\)
Zauważmy, że x, y i a są liczbami dodatnimi, dodatnie są też ich sumy i kwadraty, a ponieważ z warunków zadnia wynika, że y>x, to y-x>0. Zatem wszystkie wyrazy w l;liczniku i mianowniku są dodatnie, a co za tym idzie całe wyrażenie jest dodatnie, co należało dowieść.
© medianauka.pl, 2023-02-14, ZAD-4701
Zadania podobne

Jedną z liczb, które spełniają nierówność

A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
Pokaż rozwiązanie zadania

Do zbioru rozwiązań nierówności (x4 + 1)(2 - x) > 0 nie należy:
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
Pokaż rozwiązanie zadania

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność.
Pokaż rozwiązanie zadania

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3(1− x) > 2(3x −1) −12x jest przedział
A. (-5/3,+∞)
B. (-∞,5/3)
C. (5/3,+∞)
D. (-∞,-5/3)
Pokaż rozwiązanie zadania