Zadanie maturalne nr 28, matura 2018


Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność.

\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}


ksiązki Rozwiązanie zadania

Przekształćmy nasze wyrażenie

\( \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}\)

\( \frac{2b}{4ab}+\frac{2a}{4ab}\geq \frac{2}{a+b}\)

\( \frac{2a+2b}{4ab}\geq \frac{2}{a+b}\)

\( \frac{2(a+b)}{2\cdot 2ab}\geq \frac{2}{a+b}\)

\( \frac{a+b}{2ab}\geq \frac{2}{a+b}\)

Ponieważ a i b są liczbami dodatnimi, zatem 2ab oraz (a+b), a także iloczyn tych liczb są dodatnie. Możemy więc wykonać mnożenie:

\( \frac{a+b}{2ab}\geq \frac{2}{a+b}/ \cdot 2ab(a+b)\)

\( (a+b)^2\geq 4ab\)

\( a^2+2ab+b^2-4ab\geq 0\)

\( a^2-2ab+b^2\geq 0\)

\( (a-b)^2\geq 0\)

Kwadrat dowolnej liczby jest zawsze dodatni, a więc po przekształceniu naszej nierówności otrzymaliśmy nierówność równoważną, będącą zdaniem prawdziwym dla dowolnych liczb a i b dodatnich. Tym samym zakończyliśmy dowód.


© medianauka.pl, 2023-01-07, ZAD-4617

Zadania podobne

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jedną z liczb, które spełniają nierówność wzór jest:

A. 1
B. -1
C. 2
D. -2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2017 (poziom podstawowy)
Do zbioru rozwiązań nierówności (x4 + 1)(2 - x) > 0 nie należy:

A. -3
B. -1
C. 1
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.