Zadanie maturalne nr 28, matura 2018
Treść zadania:
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność.
\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}\)
Rozwiązanie zadania
Przekształćmy nasze wyrażenie
\( \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}\)
\( \frac{2b}{4ab}+\frac{2a}{4ab}\geq \frac{2}{a+b}\)
\( \frac{2a+2b}{4ab}\geq \frac{2}{a+b}\)
\( \frac{2(a+b)}{2\cdot 2ab}\geq \frac{2}{a+b}\)
\( \frac{a+b}{2ab}\geq \frac{2}{a+b}\)
Ponieważ a i b są liczbami dodatnimi, zatem 2ab oraz (a+b), a także iloczyn tych liczb są dodatnie. Możemy więc wykonać mnożenie:
\( \frac{a+b}{2ab}\geq \frac{2}{a+b}/ \cdot 2ab(a+b)\)
\( (a+b)^2\geq 4ab\)
\( a^2+2ab+b^2-4ab\geq 0\)
\( a^2-2ab+b^2\geq 0\)
\( (a-b)^2\geq 0\)
Kwadrat dowolnej liczby jest zawsze dodatni, a więc po przekształceniu naszej nierówności otrzymaliśmy nierówność równoważną, będącą zdaniem prawdziwym dla dowolnych liczb a i b dodatnich. Tym samym zakończyliśmy dowód.
© medianauka.pl, 2023-01-07, ZAD-4617
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x<-2\) jest:
A. \(1\)
B. \((-1)\)
C. \(2\)
D. \((-2)\)
Zadanie nr 2 — maturalne.
Do zbioru rozwiązań nierówności \((x^4+1)(2-x)>0\) nie należy:
A. \((-3)\)
B. \((-1)\)
C. \(1\)
D. \(3\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\), takich że \(x<y\) , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) prawdziwa jest nierówność:
\(\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1−x)>2(3x−1)−12x\) jest przedział
A. \((-\frac{5}{3},+\infty)\)
B. \((-\infty,\frac{5}{3})\)
C. \((\frac{5}{3},+\infty)\)
D. \((-\infty,-\frac{5}{3})\)
Zadanie nr 5 — maturalne.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}>\frac{x}{5}\) jest przedział
A. \((-\infty; 0)\)
B. \((0; +\infty)\)
C. \((-\infty; \frac{3}{4})\)
D. \((\frac{3}{4}; +\infty)\)