Nauka » Matematyka » Nierówność kwadratowa

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem

Dla jakich wartości parametru m nierówność $x^2-2x-m+1\leq 0$ ma jedno rozwiązanie x=1?

Rozwiązanie zadania uproszczone

Trójmian kwadratowy musi mieć jeden pierwiastek:

$\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-m+1)=\\ =4-4(1-m)=4-4+4m=4m$
$\Delta=4m=0/:4 \\ m=0$

Dla m=0 dostajemy nierówność:
$x^2+2x+1\leq 0 \\ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2}=1$
Rysunek pomocniczy

Dla m=0 nierówność $x^2-2x-m+1\leq 0$ ma jedno rozwiązanie x=1.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Nierówność kwadratowa o dodatnim współczynniku a (liczbie przy x²) będzie miała jedno rozwiązanie tylko w przypadku pokazanym na rysunku:

Dlaczego? Dlatego, że szukamy wartości mniejszych od zera (tutaj takich nie ma) oraz równych zero (tutaj tylko dla x=1). Zatem mamy szukane rozwiązanie x=1. aby trójmian miał jedno miejsce zerowe wyróżnik trójmianu musi być równy zeru:

Obliczamy wyróżnik

$a=1\\ b=-2 \\ c=-m+1 \\ \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-m+1)=\\ =4-4(1-m)=4-4+4m=4m$

Wyróżnik musi być równy zeru, więc:

$\Delta=4m=0/:4 \\ m=0$

Dla m=0 dostajemy nierówność:

$x^2+2x+1\leq 0 \\ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2}=1$

Potwierdziliśmy, że dla m=0 trójmian ma jeden pierwiastek x=1, a nierówność ma tylko jedno rozwiązanie: x=1

Odpowiedź

Dla m=0 nierówność $x^2-2x-m+1\leq 0$ ma jedno rozwiązanie x=1.

Zadania podobne

Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość $\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log(5x^2-3x+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność $2x^2-|x+1|\leq -1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) $x^2+2x-3\geq 0$
b) $-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0$
c) $-x^2+2\leq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) $\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0$
b) $-x^2-2x-5\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a)

b) $-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności

jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność $\frac{x}{x+1}\geq 2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać nierówność

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2015 (poziom podstawowy)
Rozwiąż nierówność 2x²-4x>(x+3)(x-2).

Pokaż rozwiązanie zadania