Strona główna » Matematyka » Nierówność kwadratowa

Zadanie - nierówność kwadratowa

Rozwiązać nierówność:
a) $x^2+2x-3\geq 0$
b) $-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0$
c) $-x^2+2\leq 0$

a) Rozwiązanie szczegółowe

Aby rozwiązać nierówność $x^2+2x-3\geq 0$ musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Obliczamy wyróżnik

$a=1\\ b=2\\ c=-3 \\ \Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+13=16$

Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1$

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę. Sporządzamy szkic wykresu:

Interesują nas wartości większe od zera lub równe zero, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

Odpowiedź

$x\in (-\infty; -3\rangle \cup \langle 1;+\infty)$

b) Rozwiązanie szczegółowe

Aby rozwiązać nierówność $-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0$ musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Obliczamy wyróżnik

$a=-1\\ b=\frac{3}{4}\\ c=-\frac{1}{8} \\ \Delta=b^2-4ac=(\frac{3}{4})^2-4\cdot (-1)\cdot (\frac{1}{8})=\frac{9}{16}-\frac{1}{2}=\frac{1}{16}\\ \sqrt{\Delta}=\frac{1}{4}$

Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}{-2}=\frac{1}{2} \\ x_2=\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{-2}=\frac{-\frac{1}{2}}{-2}=\frac{1}{4}$

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a jest ujemny, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w dół. Sporządzamy szkic wykresu:

Interesują nas wartości większe od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

Odpowiedź

$x\in (\frac{1}{4};\frac{1}{2})$

c) Rozwiązanie szczegółowe

Przekształcamy nierówność:

$-x^2+2\leq 0\\ -(x^2-2)\leq 0/:(-1) \\ x^2-2\geq 0 \\ x^2-(\sqrt{2})^2\geq 0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\geq 0$

Trójmian ma więc dwa pierwiastki.

$x_1=-\sqrt{2} \\ x_2=\sqrt{2}$

Współczynnik a jest ujemny (interesuje nas nierówność po przekształceniach), równanie ma dwa pierwiastki, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę. Sporządzamy szkic wykresu:

Interesują nas wartości większe od zera lub równe zero (cały czas interesuje nas nierówność po przekształceniach), więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału: