Zadanie - nierówność kwadratowa
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+2x-3\geq 0\)
b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)
c) \(-x^2+2\leq 0\)
Rozwiązanie części a)
Aby rozwiązać nierówność \(x^2+2x-3\geq 0\) musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.
Obliczamy wyróżnik:
\(a=1,\ b=2,\ c=-3\)
\(\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+13=16\)
Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1\)
Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres trójmianu przecina oś \(OX\) w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę. Sporządzamy szkic wykresu:
Interesują nas wartości większe od zera lub równe zero, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:
Odpowiedź
Rozwiązanie części b)
Aby rozwiązać nierówność \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\) musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.
Obliczamy wyróżnik:
\(a=-1,\ b=\frac{3}{4},\ c=-\frac{1}{8}\)
\(\Delta=b^2-4ac=(\frac{3}{4})^2-4\cdot (-1)\cdot (\frac{1}{8})=\frac{9}{16}-\frac{1}{2}=\frac{1}{16}\)
\(\sqrt{\Delta}=\frac{1}{4}\)
Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.
\(x_1=\frac{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(x_2=\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{-2}=\frac{-\frac{1}{2}}{-2}=\frac{1}{4}\)
Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a jest ujemny, więc wykres trójmianu przecina oś \(OX\) w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w dół. Sporządzamy szkic wykresu:
Interesują nas wartości większe od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:
Odpowiedź
Rozwiązanie części c)
Przekształcamy nierówność:
\(-x^2+2\leq 0\)
\(-(x^2-2)\leq 0/:(-1)\)
\( x^2-2\geq 0\)
\(x^2-(\sqrt{2})^2\geq 0\)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
Trójmian ma więc dwa pierwiastki.
\(x_1=-\sqrt{2}\)
\(x_2=\sqrt{2}\)
Współczynnik \(a\) jest ujemny (interesuje nas nierówność po przekształceniach), równanie ma dwa pierwiastki, więc wykres trójmianu przecina oś \(OX\) w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę. Sporządzamy szkic wykresu:
Interesują nas wartości większe od zera lub równe zero (cały czas interesuje nas nierówność po przekształceniach), więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-08, ZAD-587
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność:
a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)
b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+8x+16> 0\)
b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych?
b) zbiór pusty?
