Nauka » Matematyka » Nierówność kwadratowa

Zadanie - nierówność kwadratowa

Rozwiązać nierówność:
a) $x^2+2x-3\geq 0$
b) $-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0$
c) $-x^2+2\leq 0$

a) Rozwiązanie szczegółowe

Aby rozwiązać nierówność $x^2+2x-3\geq 0$ musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Obliczamy wyróżnik

$a=1\\ b=2\\ c=-3 \\ \Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+13=16$

Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1$

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę. Sporządzamy szkic wykresu:

Interesują nas wartości większe od zera lub równe zero, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

Odpowiedź

$x\in (-\infty; -3\rangle \cup \langle 1;+\infty)$

b) Rozwiązanie szczegółowe

Aby rozwiązać nierówność $-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0$ musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Obliczamy wyróżnik

$a=-1\\ b=\frac{3}{4}\\ c=-\frac{1}{8} \\ \Delta=b^2-4ac=(\frac{3}{4})^2-4\cdot (-1)\cdot (\frac{1}{8})=\frac{9}{16}-\frac{1}{2}=\frac{1}{16}\\ \sqrt{\Delta}=\frac{1}{4}$

Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}{-2}=\frac{1}{2} \\ x_2=\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{-2}=\frac{-\frac{1}{2}}{-2}=\frac{1}{4}$

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a jest ujemny, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w dół. Sporządzamy szkic wykresu:

Interesują nas wartości większe od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

Odpowiedź

$x\in (\frac{1}{4};\frac{1}{2})$

c) Rozwiązanie szczegółowe

Przekształcamy nierówność:

$-x^2+2\leq 0\\ -(x^2-2)\leq 0/:(-1) \\ x^2-2\geq 0 \\ x^2-(\sqrt{2})^2\geq 0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\geq 0$

Trójmian ma więc dwa pierwiastki.

$x_1=-\sqrt{2} \\ x_2=\sqrt{2}$

Współczynnik a jest ujemny (interesuje nas nierówność po przekształceniach), równanie ma dwa pierwiastki, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę. Sporządzamy szkic wykresu:

Interesują nas wartości większe od zera lub równe zero (cały czas interesuje nas nierówność po przekształceniach), więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału:

Odpowiedź

$x\in (-\infty; -\sqrt{2}\rangle \cup \langle \sqrt{2};+\infty)$

Zadania podobne

Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość $\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log(5x^2-3x+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność $2x^2-|x+1|\leq -1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) $\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0$
b) $-x^2-2x-5\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a)

b) $-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m nierówność $x^2-2x-m+1\leq 0$ ma jedno rozwiązanie x=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności

jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność $\frac{x}{x+1}\geq 2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać nierówność

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2015 (poziom podstawowy)
Rozwiąż nierówność 2x²-4x>(x+3)(x-2).

Pokaż rozwiązanie zadania