Zadanie - nierówność kwadratowa
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność \(\frac{x}{x+1}\geq 2\).
Rozwiązanie zadania
Wyznaczamy w pierwszej kolejności dziedzinę naszej nierówności. Ponieważ mamy do czynienia z ułamkiem, mianownik nie może być zerem.
\(x+1\neq 0\)
\(x\neq -1\)
Przenosimy wyrazy na jedną stronę równania i sprowadzamy je do wspólnego mianownika:
\(\frac{x}{x+1}\geq 2\)
\(\frac{x}{x+1}-2\geq 0\)
\(\frac{x}{x+1}-\frac{2(x+1)}{x+1}\geq 0\)
\(\frac{x-2(x+1)}{x+1}\geq 0\)
\(\frac{x-2x-2}{x+1}\geq 0\)
\(\frac{-x-2}{x+1}\geq 0/\cdot (-1)\)
\(\frac{x+2}{x+1}\leq 0\)
Ponieważ iloraz czynników ma taki sam znak jak iloczyn, możemy zapisać:
\((x+2)(x+1)\leq 0\)
Mamy nierówność kwadratową o pierwiastkach:
\(x_1=-2,\ x_2=-1\)
Ramiona paraboli skierowane są do góry, szukamy wartości mniejszych od zera lub równe zeru. Rozwiązanie odczytujemy z wykresu, na którym zaznaczamy również dziedzinę nierówności.
\(x\in \langle-2;-1)\)
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-616
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+2x-3\geq 0\)
b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)
c) \(-x^2+2\leq 0\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać nierówność:
a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)
b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)
Zadanie nr 6.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+8x+16> 0\)
b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?
Zadanie nr 8.
Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych?
b) zbiór pusty?
