Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność \(2x^2-|x+1|\leq -1\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
Dla \(+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1\) możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową:
\(2x^2-|x+1|\leq -1\)
\(2x^2-(x+1)+1\leq 0\)
\(2x^2-x-1+1\leq 0\)
\(2x^2-x\leq 0\)
\(2x(x-\frac{1}{2})\leq 0/:2\)
\(x(x-\frac{1}{2})\leq 0\)
\(x_1=0\)\(x_2=\frac{1}{2}\)
W powyższej nierówności można było też obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę), jednak łatwiej było wyciągnąć \(2x\) przed nawias i w ten sposób otrzymać postać iloczynową dwumianu kwadratowego. Sporządzamy szkic wykresu. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik \(a=2\) jest dodatni), parabola przecina oś \(OX\) w punktach \(0\) i \(\frac{1}{2}\). Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Na wykres nanosimy nasz warunek \(x\geq -1"\) i odczytujemy rozwiązanie.
\(x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle\)
Przypadek 2
Dla \(+1< 0 \Leftrightarrow x< -1\) możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki, a rozwiązanie odczytujemy z wykresu:\
\(2x^2-|x+1|\leq -1\)
\(2x^2-[-(x+1)]+1\leq 0\)
\(2x^2+x+2\leq 0\)
\(a=2\)
\(b=1\)
\(c=2\)
\(\Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0\)
Sporządzamy szkic wykresu trójmianu kwadratowego. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik \(a=2\) jest dodatni), parabola nie przecina osi \(OX\), gdyż wyróżnik trójmianu jest ujemny (nie ma miejsc zerowych). Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Wszystkie wartości trójmianu są dodatnie, więc nierówność nie posiada rozwiązania:
\(x\in \emptyset\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-454
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+2x-3\geq 0\)
b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)
c) \(-x^2+2\leq 0\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność:
a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)
b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+8x+16> 0\)
b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych?
b) zbiór pusty?
