Nauka » Matematyka » Nierówność kwadratowa

Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną

Rozwiązać nierówność $2x^2-|x+1|\leq -1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Dla $x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1$

$2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-(x+1)+1\leq 0 \\ 2x^2-x\leq 0 \\ 2x(x-\frac{1}{2})\leq 0/:2 \\ x(x-\frac{1}{2})\leq 0 \\ x_1=0 \\ x_2=\frac{1}{2}$
rysunek pomocniczy

$x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle$

2) Dla $x+1< 0 \Leftrightarrow x< -1$

$2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-[-(x+1)]+1\leq 0 \\ 2x^2+x+2\leq 0 \\ a=2 \\ b=1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0$
rysunek pomocniczy

$x\in \empty$

Rozwiązaniem nierówności $2x^2-|x+1|\leq -1$ jest zbiór $x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}$

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla $x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1$ możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową:

$2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-(x+1)+1\leq 0 \\ 2x^2-x-1+1\leq 0 \\ 2x^2-x\leq 0 \\ 2x(x-\frac{1}{2})\leq 0/:2 \\ x(x-\frac{1}{2})\leq 0 \\ x_1=0 \\ x_2=\frac{1}{2}$

W powyższej nierówności można było też obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę), jednak łatwiej było wyciągnąć 2x przed nawias i w ten sposób otrzymać postać iloczynową dwumianu kwadratowego. Sporządzamy szkic wykresu. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik a=2 jest dodatni), parabola przecina oś OX w punktach 0 i 1/2. Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Na wykres nanosimy nasz warunek $x\geq -1$ i odczytujemy rozwiązanie.

$x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle$

Przypadek 2

Dla $x+1< 0 \Leftrightarrow x< -1$ możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki, a rozwiązanie odczytujemy z wykresu.:

$2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-[-(x+1)]+1\leq 0 \\ 2x^2+x+2\leq 0 \\ a=2 \\ b=1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0$

Sporządzamy szkic wykresu trójmianu kwadratowego. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik a=2 jest dodatni), parabola nie przecina osi OX , gdyż wyróżnik trójmianu jest ujemny (nie ma miejsc zerowych). Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Wszystkie wartości trójmianu są dodatnie, więc nierówność nie posiada rozwiązania

$x\in \empty$