Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną

Rozwiązanie zadania uproszczone
1) Dla 



2) Dla

![2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-[-(x+1)]+1\leq 0 \\ 2x^2+x+2\leq 0 \\ a=2 \\ b=1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0](matematyka/wzory/zad64/6.gif)


Rozwiązaniem nierówności


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
Dla możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową:

W powyższej nierówności można było też obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę), jednak łatwiej było wyciągnąć 2x przed nawias i w ten sposób otrzymać postać iloczynową dwumianu kwadratowego. Sporządzamy szkic wykresu. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik a=2 jest dodatni), parabola przecina oś OX w punktach 0 i 1/2.
Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Na wykres nanosimy nasz warunek i odczytujemy rozwiązanie.


Przypadek 2
Dla możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki, a rozwiązanie odczytujemy z wykresu.:
![2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-[-(x+1)]+1\leq 0 \\ 2x^2+x+2\leq 0 \\ a=2 \\ b=1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0](matematyka/wzory/zad64/6.gif)
Sporządzamy szkic wykresu trójmianu kwadratowego. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik a=2 jest dodatni), parabola nie przecina osi OX , gdyż wyróżnik trójmianu jest ujemny (nie ma miejsc zerowych). Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Wszystkie wartości trójmianu są dodatnie, więc nierówność nie posiada rozwiązania


Odpowiedź


© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-454
Zadania podobne

Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość

Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznaczyć dziedzinę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność:
a)

b)

c)

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametru m nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności

a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż nierówność 2x2-4x>(x+3)(x-2).
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż nierówność 2x2−3x>5.
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż nierówność 3x2−16x+16>0.
Pokaż rozwiązanie zadania