Logo Media Nauka

Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną

Rozwiązać nierówność 2x^2-|x+1|\leq -1

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Dla x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1

2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-(x+1)+1\leq 0 \\ 2x^2-x\leq 0 \\ 2x(x-\frac{1}{2})\leq 0/:2 \\ x(x-\frac{1}{2})\leq 0 \\ x_1=0 \\ x_2=\frac{1}{2}
rysunek pomocniczy

x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle

2) Dla x+1< 0 \Leftrightarrow x< -1

2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-[-(x+1)]+1\leq 0 \\ 2x^2+x+2\leq 0 \\ a=2 \\ b=1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0
rysunek pomocniczy

x\in \empty

Rozwiązaniem nierówności 2x^2-|x+1|\leq -1 jest zbiór x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1 możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową:

2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-(x+1)+1\leq 0 \\ 2x^2-x-1+1\leq 0 \\ 2x^2-x\leq 0 \\ 2x(x-\frac{1}{2})\leq 0/:2 \\ x(x-\frac{1}{2})\leq 0 \\ x_1=0 \\ x_2=\frac{1}{2}

W powyższej nierówności można było też obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę), jednak łatwiej było wyciągnąć 2x przed nawias i w ten sposób otrzymać postać iloczynową dwumianu kwadratowego. Sporządzamy szkic wykresu. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik a=2 jest dodatni), parabola przecina oś OX w punktach 0 i 1/2. Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Na wykres nanosimy nasz warunek x\geq -1 i odczytujemy rozwiązanie.

rysunek pomocniczy
x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle

Przypadek 2

Dla x+1< 0 \Leftrightarrow x< -1 możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki, a rozwiązanie odczytujemy z wykresu.:

2x^2-|x+1|\leq -1 \\ 2x^2-[-(x+1)]+1\leq 0 \\ 2x^2+x+2\leq 0 \\ a=2 \\ b=1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0

Sporządzamy szkic wykresu trójmianu kwadratowego. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik a=2 jest dodatni), parabola nie przecina osi OX , gdyż wyróżnik trójmianu jest ujemny (nie ma miejsc zerowych). Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Wszystkie wartości trójmianu są dodatnie, więc nierówność nie posiada rozwiązania

rysunek pomocniczy
x\in \empty

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności 2x^2-|x+1|\leq -1 jest zbiór x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle

© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-454



Zadania podobne

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji y=\log(5x^2-3x+1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) x^2+2x-3\geq 0
b) -x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0
c) -x^2+2\leq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) \sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0
b) -x^2-2x-5\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) x^2+8x+16> 0
b) -x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m nierówność x^2-2x-m+1\leq 0 ma jedno rozwiązanie x=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności x^2+mx-1+m> 0 jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność \frac{x}{x+1}\geq 2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 27, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać nierówność 2x^2-4x>3x^2-6x.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 26, matura 2015 (poziom podstawowy)
Rozwiąż nierówność 2x2-4x>(x+3)(x-2).

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.