Nauka » Matematyka » Nierówność kwadratowa

Zadanie - nierówność kwadratowa

Rozwiązać nierówność:
a)

b) $-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0$

a) Rozwiązanie zadania szczegółowe

Aby rozwiązać nierówność trzeba znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Obliczamy więc wyróżnik:

$a=1\\ b=8\\ c=16 \\ \Delta=b^2-4ac=8^2-4\cdot 1\cdot 16=64-64=0$

Wyróżnik jest równy zero, więc trójmian ma dokładnie jeden pierwiastek (przecina oś OX w jednym punkcie)

$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2}=-4$

Współczynnik a jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Sporządzamy szkic wykresu:

Interesują nas wartości większe od zera. Wartości trójmianu są dodatnie dla:

Odpowiedź

$x\in R/ \lbrace -4 \rbrace'$

b) Rozwiązanie szczegółowe

Aby rozwiązać nierówność $-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0$ musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Obliczamy wyróżnik

$a=-1\\ b=2\sqrt{2}\\ c=-2 \\ \Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2-4\cdot (-1)\cdot (-2)=4\cdot 2-8=0$

Wyróżnik jest równy zero, więc trójmian ma dokładnie jeden pierwiastek (przecina oś OX w jednym punkcie)

$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2\sqrt{2}}{-2}=\sqrt{2}$

Współczynnik a jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół. Sporządzamy szkic wykresu:

Interesują nas wartości większe od zera (takich nie znajdujemy) lub równe zeru. Tylko jeden argument spełnia ten warunek:

Odpowiedź

$x=x_0=\sqrt{2}$

Zadania podobne

Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość $\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log(5x^2-3x+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność $2x^2-|x+1|\leq -1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) $x^2+2x-3\geq 0$
b) $-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0$
c) $-x^2+2\leq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) $\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0$
b) $-x^2-2x-5\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m nierówność $x^2-2x-m+1\leq 0$ ma jedno rozwiązanie x=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności

jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność $\frac{x}{x+1}\geq 2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać nierówność

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2015 (poziom podstawowy)
Rozwiąż nierówność 2x²-4x>(x+3)(x-2).

Pokaż rozwiązanie zadania