Nauka » Matematyka » Działania na pierwiastkach • Potęga o wykładniku wymiernym

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz

Treść zadania:

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)

Rozwiązanie zadania

I sposób

Skorzystamy jedynie z własności działań na pierwiastkach. Mamy iloczyn dwóch pierwiastków w różnych stopniach (drugim i trzecim). Aby wykonać mnożenie, musimy sprowadzić oba pierwiastki do tego samego stopnia. Skorzystamy w tym celu z dwóch wzorów:

\(\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\)

Zgodnie z pierwszym, a potem drugim wzorem mamy:

\(\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt[3]{2^3}}=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}\)
\(\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{\sqrt{2^2}}=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{4}\)

Możemy teraz przystąpić do obliczenia naszego iloczynu:

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{8}\cdot \sqrt[6]{4}=\sqrt[6]{8\cdot 4}=\sqrt[6]{32}\)

Skorzystano tu z:

\(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\)

Odpowiedź

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{32}\)

II sposób

Skorzystamy tutaj z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie ze wzorem:

\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0\) \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{6}}\cdot 2^{\frac{2}{6}}= 2^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}} =2^{\frac{5}{6}}\)

Wykorzystano tu wzór:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

Teraz z powrotem zamienimy potęgę na pierwiastek zgodnie z przytoczonym na wstępie tego rozwiązania wzorem oraz wzorem:

\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) \(2^{\frac{5}{6}}=(2^5)^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32}\)