Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}](matematyka/wzory/zad13/1.gif)
Rozwiązanie zadania uproszczone
I sposób
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^3}\cdot \sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{2^3\cdot 2^2}=\sqrt[6]{32}](matematyka/wzory/zad13/2.gif)
II sposób
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=2^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{32}](matematyka/wzory/zad13/3.gif)
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
I sposób
Skorzystamy jedynie z własności działań na pierwiastkach. Mamy iloczyn dwóch pierwiastków w różnych stopniach (drugim i trzecim). Aby wykonać mnożenie musimy sprowadzić oba pierwiastki do tego samego stopnia. Skorzystamy w tym celu z dwóch wzorów:
![\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0](matematyka/wzory/zad13/4.gif)
Zgodnie z pierwszym (rachunki zaznaczono żółtym kolorem), a potem drugim wzorem mamy
![\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt[3]{2^3}}=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}](matematyka/wzory/zad13/5.gif)
![\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{\sqrt{2^2}}=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{4}](matematyka/wzory/zad13/3.gif)




Możemy teraz przystąpić do obliczenia naszego iloczynu:
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{8}\cdot \sqrt[6]{4}=\sqrt[6]{8\cdot 4}=\sqrt[6]{32}](matematyka/wzory/zad13/7.gif)

Kolorem fioletowym zaznaczono fragment obliczeń, w którym wykorzystano inną własność działań na pierwiastkach:
![\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}](matematyka/wzory/zad13/8.gif)
Odpowiedź
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{32}](matematyka/wzory/zad13/9.gif)
II sposób
Skorzystamy tutaj z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie ze wzorem:
![\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0](matematyka/wzory/zad13/10.gif)
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{6}}\cdot 2^{\frac{2}{6}}=2^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}=2^{\frac{5}{6}}](matematyka/wzory/zad13/11.gif)


Kolorem fioletowym zaznaczono obliczenia, w których wykorzystano wzór:

Teraz z powrotem zamienimy potęgę na pierwiastek zgodnie z przytoczonym na wstępie tego rozwiązania wzorem oraz wzorem:

![2^{\frac{5}{6}}=(2^5)^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32}](matematyka/wzory/zad13/14.gif)


Odpowiedź
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{32}](matematyka/wzory/zad13/9.gif)
© medianauka.pl, 2009-11-22, ZAD-391
Zadania podobne

Uprościć wyrażenie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Uprościć wyrażenie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Uprościć wyrażenie:
![W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1](matematyka/wzory/zad3/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz:

Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wartość wyrażenia:
![[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}](matematyka/wzory/zad5/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:

Pokaż rozwiązanie zadania

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}](matematyka/wzory/zad14/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wartość wyrażenia:
![\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}](matematyka/wzory/zad15/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania

Sprawdzić, czy liczby


Pokaż rozwiązanie zadania

Funkcja f określona jest wzorem

![f(-\sqrt[3]{3})](matematyka/wzory/m2016/12_2.gif)
A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania