Nauka » Matematyka » Działania na pierwiastkach Potęga o wykładniku wymiernym

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz

Treść zadania:

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)

Rozwiązanie zadania

I sposób

Skorzystamy jedynie z własności działań na pierwiastkach. Mamy iloczyn dwóch pierwiastków w różnych stopniach (drugim i trzecim). Aby wykonać mnożenie, musimy sprowadzić oba pierwiastki do tego samego stopnia. Skorzystamy w tym celu z dwóch wzorów:

\(\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\)

Zgodnie z pierwszym, a potem drugim wzorem mamy:

\(\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt[3]{2^3}}=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}\)
\(\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{\sqrt{2^2}}=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{4}\)

Możemy teraz przystąpić do obliczenia naszego iloczynu:

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{8}\cdot \sqrt[6]{4}=\sqrt[6]{8\cdot 4}=\sqrt[6]{32}\)

Skorzystano tu z:

\(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\)

Odpowiedź

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{32}\)

II sposób

Skorzystamy tutaj z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie ze wzorem:

\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0\)

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{6}}\cdot 2^{\frac{2}{6}}= 2^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}} =2^{\frac{5}{6}}\)

Wykorzystano tu wzór:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

Teraz z powrotem zamienimy potęgę na pierwiastek zgodnie z przytoczonym na wstępie tego rozwiązania wzorem oraz wzorem:

\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)

\(2^{\frac{5}{6}}=(2^5)^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32}\)

Odpowiedź

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{32}\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Uprościć wyrażenie:

\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Uprościć wyrażenie:

\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Uprościć wyrażenie:

\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Oblicz:

\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Oblicz wartość wyrażenia:

\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:

\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu

\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:

A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)

B. \(-\frac{3}{5}\)

C. \(\frac{3}{5}\)

D. \(\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f(\frac{1}{2})\) jest równa.

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(3\)

D. \(17\)

Pokaż rozwiązanie zadania.