Nauka » Matematyka » Działania na pierwiastkach • Potęga o wykładniku wymiernym

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

I sposób

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^3}\cdot \sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{2^3\cdot 2^2}=\sqrt[6]{32}$

II sposób

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=2^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{32}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

I sposób

Skorzystamy jedynie z własności działań na pierwiastkach. Mamy iloczyn dwóch pierwiastków w różnych stopniach (drugim i trzecim). Aby wykonać mnożenie musimy sprowadzić oba pierwiastki do tego samego stopnia. Skorzystamy w tym celu z dwóch wzorów:

$\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0$

Zgodnie z pierwszym (rachunki zaznaczono żółtym kolorem), a potem drugim wzorem mamy

$\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt[3]{2^3}}=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}$ $\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{\sqrt{2^2}}=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{4}$ tło

Możemy teraz przystąpić do obliczenia naszego iloczynu:

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{8}\cdot \sqrt[6]{4}=\sqrt[6]{8\cdot 4}=\sqrt[6]{32}$ tło

Kolorem fioletowym zaznaczono fragment obliczeń, w którym wykorzystano inną własność działań na pierwiastkach:

$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$

Odpowiedź

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{32}$

II sposób

Skorzystamy tutaj z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie ze wzorem:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0$

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{6}}\cdot 2^{\frac{2}{6}}=2^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}=2^{\frac{5}{6}}$ tło

Kolorem fioletowym zaznaczono obliczenia, w których wykorzystano wzór:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Teraz z powrotem zamienimy potęgę na pierwiastek zgodnie z przytoczonym na wstępie tego rozwiązania wzorem oraz wzorem:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

$2^{\frac{5}{6}}=(2^5)^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32}$ tło

Odpowiedź

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{32}$

Zadania podobne

Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$

Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}$

Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1$