Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
Rozwiązanie zadania uproszczone
![W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+\\ +a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1=](matematyka/wzory/zad3/2.gif)
![=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2+\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+\\ +\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+1](matematyka/wzory/zad3/3.gif)
Stosujemy podstawienie:


Teraz za zmienną u podstawiamy nasze wyrażenie i otrzymujemy rozwiązanie.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Jeśli się przyjrzymy dokładnie naszemu wyrażeniu, to widać, że pojawia się w nim wyraz
poza zaznaczonymi kolorem fragmentami, które spróbujemy przekształcić do tej właśnie postaci. Będziemy mogli wówczas zastosować podstawienie za inną zmienną.
![W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+\\ +a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1](matematyka/wzory/zad3/8.gif)




Najpierw wyjmujemy minus przed nawias, a następnie rozwiniemy potęgę zgodnie ze wzorem:

Mamy więc
![-a^3+x^2=-(a^3-x^2)^1=-(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}\cdot 2}=-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2](matematyka/wzory/zad3/10.gif)

Musimy tutaj skorzystać ze wzoru:

Mamy więc


Sprowadzamy liczby w nawiasie do wspólnego mianownika i wykonujemy kolejno działania, korzystając ze wzoru przytoczonego wyżej oraz ze wzorów::

Mamy więc

Przekształcone wyrazy podstawiamy do naszego wyrażenia. W ten sposób w każdym składniku otrzymamy podobne wyrazy. Kolorami zaznaczono przekształcone już wyrazy.
![W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2+\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+\\ +\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+1](matematyka/wzory/zad3/15.gif)



Stosujemy podstawienie:

i podstawiamy nową zmienną do naszego wyrażenia:


Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów (przekształcenie zaznaczono żółtym kolorem), a następnie przekształcamy nasze wyrażenie do najprostszej postaci.


Teraz za zmienną u podstawiamy nasze wyrażenie i otrzymujemy rozwiązanie.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-11-11, ZAD-379
Zadania podobne

Uprościć wyrażenie:
Pokaż rozwiązanie zadania

Uprościć wyrażenie:
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz:
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wartość wyrażenia:
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
Pokaż rozwiązanie zadania

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:
Pokaż rozwiązanie zadania

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wartość wyrażenia:
Pokaż rozwiązanie zadania

Sprawdzić, czy liczby są pierwiastkami wielomianu
Pokaż rozwiązanie zadania

Funkcja f określona jest wzorem dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy
jest równa:
A.
B.
C.
D.
Pokaż rozwiązanie zadania

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 4−x +1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba f(1/2) jest równa.
A. 1/2
B. 3/2
C. 3
D. 17
Pokaż rozwiązanie zadania