Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń


Uprościć wyrażenie:
W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1


książka Rozwiązanie zadania uproszczone

W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+\\ +a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1=
=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2+\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+\\ +\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+1

Stosujemy podstawienie:

u=(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}

W=(u-1)(u+1)-u^2+\frac{1}{u}+\frac{a}{u}+1=\cancel{u^2}-\cancel{1}-\cancel{u^2}+\frac{1}{u}+\frac{a}{u}+\cancel{1}=\frac{a+1}{u}

Teraz za zmienną u podstawiamy nasze wyrażenie i otrzymujemy rozwiązanie.

W=\frac{a+1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}

książka Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Jeśli się przyjrzymy dokładnie naszemu wyrażeniu, to widać, że pojawia się w nim wyraz
(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}
poza zaznaczonymi kolorem fragmentami, które spróbujemy przekształcić do tej właśnie postaci. Będziemy mogli wówczas zastosować podstawienie za inną zmienną.

W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+\\ +a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1 tło tło tło

tło Przekształcamy pierwsze wyrażenie:

Najpierw wyjmujemy minus przed nawias, a następnie rozwiniemy potęgę zgodnie ze wzorem:

(a^m)^n=a^{m\cdot n}

Mamy więc
-a^3+x^2=-(a^3-x^2)^1=-(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}\cdot 2}=-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2

tło Przekształcamy drugie wyrażenie:

Musimy tutaj skorzystać ze wzoru:

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

Mamy więc
(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}

tło Przekształcamy trzecie wyrażenie:

Sprowadzamy liczby w nawiasie do wspólnego mianownika i wykonujemy kolejno działania, korzystając ze wzoru przytoczonego wyżej oraz ze wzorów::

a^{n}\cdot a^{m}=a^{m+n} \\ (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^n}{b^n}

Mamy więc
a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}(\frac{a^3}{a}-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}(\frac{a^3-x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}= \\ = a^{\frac{1}{2}}(\frac{a}{a^3-x^2})^{\frac{1}{2}}= \frac{a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}= \frac{a^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}


Przekształcone wyrazy podstawiamy do naszego wyrażenia. W ten sposób w każdym składniku otrzymamy podobne wyrazy. Kolorami zaznaczono przekształcone już wyrazy.

W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2+\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+\\ +\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+1 tło tło tło

Stosujemy podstawienie:

u=(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}


i podstawiamy nową zmienną do naszego wyrażenia:


W=(u-1)(u+1)-u^2+\frac{1}{u}+\frac{a}{u}+1 tło

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów (przekształcenie zaznaczono żółtym kolorem), a następnie przekształcamy nasze wyrażenie do najprostszej postaci.

W=\cancel{u^2}-\cancel{1}-\cancel{u^2}+\frac{1}{u}+\frac{a}{u}+\cancel{1}=\frac{a+1}{u} tło

Teraz za zmienną u podstawiamy nasze wyrażenie i otrzymujemy rozwiązanie.

W=\frac{a+1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}

książka Odpowiedź

W=\frac{a+1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}

© medianauka.pl, 2009-11-11, ZAD-379





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.