Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Treść zadania:
Uprościć wyrażenie:
\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)
Rozwiązanie zadania
Jeśli się przyjrzymy dokładnie naszemu wyrażeniu, to widać, że pojawia się w nim wyraz \((a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}\) poza fragmentami, które spróbujemy przekształcić do tej właśnie postaci. Będziemy mogli wówczas zastosować podstawienie za inną zmienną.
\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\)
\(+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+\)
\(+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)
Przekształcamy pierwsze wyrażenie.
Najpierw wyjmujemy minus przed nawias, a następnie rozwiniemy potęgę zgodnie ze wzorem:
\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)Mamy więc
\(-a^3+x^2=-(a^3-x^2)^1=-(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}\cdot 2}=-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2\)
Przekształcamy drugie wyrażenie.
Musimy tutaj skorzystać ze wzoru:
\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)Mamy więc:
\((a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}\)
Przekształcamy trzecie wyrażenie:
Sprowadzamy liczby w nawiasie do wspólnego mianownika i wykonujemy kolejno działania, korzystając ze wzoru przytoczonego wyżej oraz ze wzorów::
\(a^{n}\cdot a^{m}=a^{m+n} \\ (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^n}{b^n}\)Mamy więc
\(a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}(\frac{a^3}{a}-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}(\frac{a^3-x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}=\)
\(= a^{\frac{1}{2}}(\frac{a}{a^3-x^2})^{\frac{1}{2}}= \frac{a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}= \frac{a^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}\)
Przekształcone wyrazy podstawiamy do naszego wyrażenia. W ten sposób w każdym składniku otrzymamy podobne wyrazy. Kolorami zaznaczono przekształcone już wyrazy.
\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2+\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+\\ +\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+1\)
Stosujemy podstawienie:
\(u=(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}\)
Podstawiamy nową zmienną do naszego wyrażenia:
\(W=(u-1)(u+1)-u^2+\frac{1}{u}+\frac{a}{u}+1\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów (przekształcenie zaznaczono żółtym kolorem), a następnie przekształcamy nasze wyrażenie do najprostszej postaci.
\(W=\cancel{u^2}-\cancel{1}-\cancel{u^2}+\frac{1}{u}+\frac{a}{u}+\cancel{1}=\frac{a+1}{u}\)Teraz za zmienną \(u\) podstawiamy nasze wyrażenie i otrzymujemy rozwiązanie.
\(W=\frac{a+1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}\)Odpowiedź
\(W=\frac{a+1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}\)© medianauka.pl, 2009-11-11, ZAD-379
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)
Zadanie nr 2.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)
Zadanie nr 3.
Oblicz:
\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)
Zadanie nr 4.
Oblicz wartość wyrażenia:
\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)
Zadanie nr 5.
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz \(\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}\) jest równy:
A. \(a^{-3,9}\)
B. \(a^{-2}\)
C. \(a^{-1,3}\)
D. \(a^{1,3}\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:
A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)
B. \(-\frac{3}{5}\)
C. \(\frac{3}{5}\)
D. \(\frac{3}{5}\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Liczba \(5^8*16^{(-2)}\) jest równa
A. \((\frac{5}{2})^8\)
B. \((\frac{5}{8})^8\)
C. \(10^8\)
D. \(10\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dane są liczby \(a=3,6⋅10^{-12}\) oraz \(b=2,4⋅10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy:
- \(8,64⋅10^{−32}\)
- \(1,5⋅10^{−8}\)
- \(1,5⋅10^{8}\)
- \(8,64⋅10^{32}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma
A. 14 cyfr
B. 15 cyfr
C. 16 cyfr
D. 30 cyfr
Zadanie nr 11 — maturalne.
Liczba \(\frac{2^{50}\cdot 3^{40}}{36^{10}}\) jest równa:
A. \(6^{70}\)
B. \(6^{45}\)
C. \(2^{30}\cdot 3^{20}\)
D. \(2^{10}\cdot 3^{20}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Liczba \(100^5\cdot (0,1)^{-6}\) jest równa
A. \(10^{13}\)
B. \(10^{16}\)
C. \(10^{-1}\)
D. \(10^{-30}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Liczba \(3^{2+\frac{1}{4}}\) jest równa
A. \(3^2\cdot \sqrt[4]{3}\)
B. \(\sqrt[4]{3^2}\)
C. \(3^2 +\sqrt[4]{3}\)
D. \(3^2\cdot \sqrt{3^4}\)