Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
![W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1](matematyka/wzory/zad3/1.gif)
Rozwiązanie zadania uproszczone
![W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+\\ +a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1=](matematyka/wzory/zad3/2.gif)
![=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2+\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+\\ +\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+1](matematyka/wzory/zad3/3.gif)
Stosujemy podstawienie:


Teraz za zmienną u podstawiamy nasze wyrażenie i otrzymujemy rozwiązanie.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Jeśli się przyjrzymy dokładnie naszemu wyrażeniu, to widać, że pojawia się w nim wyraz
poza zaznaczonymi kolorem fragmentami, które spróbujemy przekształcić do tej właśnie postaci. Będziemy mogli wówczas zastosować podstawienie za inną zmienną.
![W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+\\ +a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1](matematyka/wzory/zad3/8.gif)




Najpierw wyjmujemy minus przed nawias, a następnie rozwiniemy potęgę zgodnie ze wzorem:

Mamy więc
![-a^3+x^2=-(a^3-x^2)^1=-(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}\cdot 2}=-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2](matematyka/wzory/zad3/10.gif)

Musimy tutaj skorzystać ze wzoru:

Mamy więc


Sprowadzamy liczby w nawiasie do wspólnego mianownika i wykonujemy kolejno działania, korzystając ze wzoru przytoczonego wyżej oraz ze wzorów::

Mamy więc

Przekształcone wyrazy podstawiamy do naszego wyrażenia. W ten sposób w każdym składniku otrzymamy podobne wyrazy. Kolorami zaznaczono przekształcone już wyrazy.
![W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2+\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+\\ +\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+1](matematyka/wzory/zad3/15.gif)



Stosujemy podstawienie:

i podstawiamy nową zmienną do naszego wyrażenia:


Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów (przekształcenie zaznaczono żółtym kolorem), a następnie przekształcamy nasze wyrażenie do najprostszej postaci.


Teraz za zmienną u podstawiamy nasze wyrażenie i otrzymujemy rozwiązanie.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-11-11, ZAD-379
Zadania podobne

Uprościć wyrażenie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Uprościć wyrażenie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz:

Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wartość wyrażenia:
![[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}](matematyka/wzory/zad5/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:

Pokaż rozwiązanie zadania

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}](matematyka/wzory/zad13/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}](matematyka/wzory/zad14/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wartość wyrażenia:
![\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}](matematyka/wzory/zad15/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania

Sprawdzić, czy liczby


Pokaż rozwiązanie zadania

Funkcja f określona jest wzorem

![f(-\sqrt[3]{3})](matematyka/wzory/m2016/12_2.gif)
A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania