Nauka » Matematyka » Działania na potęgach Potęga o wykładniku wymiernym

Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń

Uprościć wyrażenie:
$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+\\ +a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1=$
$=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2+\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+\\ +\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+1$

Stosujemy podstawienie:

$u=(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}$

$W=(u-1)(u+1)-u^2+\frac{1}{u}+\frac{a}{u}+1=\cancel{u^2}-\cancel{1}-\cancel{u^2}+\frac{1}{u}+\frac{a}{u}+\cancel{1}=\frac{a+1}{u}$

Teraz za zmienną u podstawiamy nasze wyrażenie i otrzymujemy rozwiązanie.

$W=\frac{a+1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Jeśli się przyjrzymy dokładnie naszemu wyrażeniu, to widać, że pojawia się w nim wyraz
$(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}$
poza zaznaczonymi kolorem fragmentami, które spróbujemy przekształcić do tej właśnie postaci. Będziemy mogli wówczas zastosować podstawienie za inną zmienną.

$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+\\ +a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1$ tło

Przekształcamy pierwsze wyrażenie:

Najpierw wyjmujemy minus przed nawias, a następnie rozwiniemy potęgę zgodnie ze wzorem:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Mamy więc
$-a^3+x^2=-(a^3-x^2)^1=-(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}\cdot 2}=-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2$

tło

Przekształcamy drugie wyrażenie:

Musimy tutaj skorzystać ze wzoru:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Mamy więc
$(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}$

tło

Przekształcamy trzecie wyrażenie:

Sprowadzamy liczby w nawiasie do wspólnego mianownika i wykonujemy kolejno działania, korzystając ze wzoru przytoczonego wyżej oraz ze wzorów::

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{m+n} \\ (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^n}{b^n}$

Mamy więc
$a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}(\frac{a^3}{a}-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}(\frac{a^3-x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}= \\ = a^{\frac{1}{2}}(\frac{a}{a^3-x^2})^{\frac{1}{2}}= \frac{a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}= \frac{a^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}$

Przekształcone wyrazy podstawiamy do naszego wyrażenia. W ten sposób w każdym składniku otrzymamy podobne wyrazy. Kolorami zaznaczono przekształcone już wyrazy.

$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}]^2+\frac{1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+\\ +\frac{a}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}}+1$ tło

Stosujemy podstawienie:

$u=(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}$

i podstawiamy nową zmienną do naszego wyrażenia:

$W=(u-1)(u+1)-u^2+\frac{1}{u}+\frac{a}{u}+1$ tło

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów (przekształcenie zaznaczono żółtym kolorem), a następnie przekształcamy nasze wyrażenie do najprostszej postaci.

$W=\cancel{u^2}-\cancel{1}-\cancel{u^2}+\frac{1}{u}+\frac{a}{u}+\cancel{1}=\frac{a+1}{u}$ tło

Teraz za zmienną u podstawiamy nasze wyrażenie i otrzymujemy rozwiązanie.

$W=\frac{a+1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}$

Odpowiedź

$W=\frac{a+1}{(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}$

Zadania podobne

Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz:
$3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
$[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Oblicz wartość wyrażenia: $\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pierwiastek wielomianu
Sprawdzić, czy liczby $1, \ \sqrt{2}$ są pierwiastkami wielomianu $W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom podstawowy)
Funkcja f określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa:

A.

Pokaż rozwiązanie zadania