Strona główna » Matematyka » Działania na pierwiastkach • Potęga o wykładniku wymiernym

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Oblicz wartość wyrażenia: $\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

I sposób

$\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\sqrt[2\cdot 5\cdot 4]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{40}\cdot 2^8}=\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}= \\ =2\sqrt[5\cdot 8]{2^8}=2\sqrt[5]{\sqrt[8]{2^8}}=2\sqrt[5]{2}$

II sposób

$\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\lbrace[(2^{48})^{\frac{1}{4}}]^{\frac{1}{5}}\rbrace^{\frac{1}{2}}=2^{48\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{48}{40}}=2^{1\frac{1}{5}}=2\sqrt[5]{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

I sposób

Skorzystamy z własności działań na pierwiastkach:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0$

Zgodnie z nim możemy zapisać nasze wyrażenie w innej postaci:

$\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\sqrt[2\cdot 5\cdot 4]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{48}}$

Skorzystamy teraz z własności działań na potęgach oraz działań na pierwiastkach:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\ \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[40]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{40+8}}=\sqrt[40]{2^{40}\cdot 2^8}=\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}$

Wynik można jeszcze bardziej uprościć, korzystając ze wzorów (poszczególne kroki rachunków zaznaczono odrębnymi kolorami):

$\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0$

$\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}=2\cdot \sqrt[5\cdot 8]{2^8}=2\sqrt[5]{\sqrt[8]{2^8}}=2\sqrt[5]{2}$ tło

Odpowiedź

$\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=2\sqrt[5]{2}$

II sposób

To samo zadanie można rozwiązać inaczej, gdy skorzystamy z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie ze wzorem:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0$

W kolejnym kroku skorzystaliśmy tutaj ze wzoru:

$(a^n)^m=a^{m\cdot n}$

Teraz zastosujemy wzór:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$2^{1\frac{1}{5}}=2^{1+\frac{1}{5}}=2^{1}\cdot 2^{\frac{1}{5}}=2\sqrt[5]{2}$

Odpowiedź

$\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=2\sqrt[5]{2}$

Zadania podobne

Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$

Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}$

Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1$