Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Tablica

Tablica - wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Poniższa tabela zawiera te liczby, dla których z pierwiastków stopnia od 2 do 5 tych liczb można wyłączyć czynnik przed pierwiastek.

n√n3√n4√n5√n
42
82√2 2
93
122√3
164 23√22
183√2
202√5
242√6 23√3
255
273√3 3
282√7
324√2 23√424√22
366
402√10 23√5
442√11
453√5
484√3 23√624√3
497
505√2
522√13
543√6 33√2
562√14 23√7
602√15
633√7
648 424√425√2
682√17
726√2 23√9
755√3
762√19
804√5 23√1024√5
819 33√33
842√21
882√22 23√11
903√10
922√23
964√6 23√1224√625√3
987√2
993√11
10010
1042√26 23√13
1086√3 33√4
1124√7 23√1424√7
1162√29
1173√13
1202√30 23√15
12111
1242√31
1255√5 5
1263√14
1288√2 43√224√825√4
1322√33
1353√15 33√5
1362√34 23√17
1402√35
14412 23√1824√9
1477√3
1482√37
1505√6
1522√38 23√19
1533√17
1562√39
1604√10 23√2024√1025√5
1629√2 33√634√2
1642√41
1682√42 23√21
16913
1713√19
1722√43
1755√7
1764√11 23√2224√11
1806√5
1842√46 23√23
1882√47
1893√21 33√7
1928√3 43√324√1225√6
19614
1983√22
20010√2 23√25

Teoria Bardzo duże znaczenie praktyczne ma tak zwane wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Z własności działań na pierwiastkach mamy:

\sqrt[n]{a^n\cdot b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot \sqrt[n]{b}=a\sqrt[n]{b},\ a\geq0,\ b\geq 0

Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a n∙b

Przyjrzyjmy się zatem przykładom.

Przykład Przykłady

\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\\ \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt{6}

TeoriaPowyższe przykłady dotyczą małych liczb. Co zrobić, gdy mamy do czynienia z dużymi liczbami pod pierwiastkiem? Korzystamy wówczas z rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Następnie zakreślamy po tyle samo liczb pierwszych (najlepiej w różny sposób kolejne grupy) ile wynosi stopień pierwiastka i mnożymy przez siebie po jednej z każdej grupy otrzymując w ten sposób liczbę a ze wzoru a n∙b. Liczbę b stanowi iloczyn niezakreślonych liczb pierwszych.

Opisany wyżej sposób ilustruje poniższy przykład.

Przykład Przykład

Obliczamy \sqrt[3]{1296}.

rozkład liczby na czynniki pierwsze Rozkładamy więc liczbę 1296 na czynniki pierwsze i ponieważ obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia zaznaczamy grupy takich samych liczb po 3 tak, jak to ilustruje rysunek.
Zgodnie z powyższą procedurą mamy a = 2 ∙ 3 = 6 (z zakreślonych liczb) oraz b = 2 ∙ 3 = 6 (z pozostałych niezakreślonych liczb). Zatem 1296 = 6 3 ∙ 6. Z tego \sqrt[3]{1296}=\sqrt[3]{6^3\cdot 6}=6\sqrt[3]{6}.

Powyższa procedura jest prosta, ale ma jedną wadę - trzeba ją pamiętać.
Można więc po prostu skorzystać z prostego rachunku, aby uzyskać ten sam wynik.

Z rozkładu na czynniki pierwsze oraz z działań na potęgach wiemy:
1296=2∙2∙2∙2∙3∙3∙3∙3=23∙2∙33∙3=63∙6

Teoria Warto poćwiczyć wyłączanie czynnika przed pierwiastek, ponieważ spotkasz się z tym praktycznie na każdym kroku podczas rozwiązywania zadań. Proponuję aby wyjąć czynnik przed pierwiastek stopnia drugiego, trzeciego, czwartego i piątego dowolnej liczby z zakresu od 10 do 10000 i sprawdzić wynik w tablicach zamieszczonych w niniejszym artykule.


kalkulator
Kalkulator
W tym miejscu możesz sprawdzić, czy można wyłączyć całkowity czynnik przed pierwiastek dla danej liczby naturalnej.

Wpisz liczbę:









Pytania

Jakie pierwiastki pojawiają się w zadaniach najczęściej?

Odpowiedź podzielimy na trzy części.

Pierwsza z nich to pierwiastki, z których można wyłączyć całkowity czynnik przed pierwiastek:

  • pierwiastek z 8, wynik 2√2;
  • pierwiastek z 12, wynik 2√3;
  • pierwiastek z 18, wynik 3√2;
  • pierwiastek z 20, wynik 2√5;
  • pierwiastek z 24, wynik 2√6;
  • pierwiastek z 32, wynik 4√2;
  • pierwiastek z 40, wynik 2√10;
  • pierwiastek z 48, wynik 4√3;
  • pierwiastek z 50, wynik 5√2;
  • pierwiastek z 72, wynik 6√2;
  • pierwiastek z 80, wynik 4√5;
  • pierwiastek z 108, wynik 6√3;
  • pierwiastek z 128, wynik 8√2;
  • pierwiastek z 180, wynik 6√5;
  • pierwiastek z 216, wynik 6√6;

Druga z nich to pierwiastki, które dają wynik całkowity:

  • √0=0;
  • √1=1;
  • √4=2;
  • √36=6;
  • √144=12;
  • √289=17;
  • √225=15;

Trzecia z nich to pierwiastki, dla których podajemy przybliżone wyniki w tablicy, którą znajdziesz tutaj.




Zadania z rozwiązaniami

zadania
Zadania związane z tematem:
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

zadanie-ikonka Zadanie - wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Uprościć ułamek
a) \frac{\sqrt[4]{6480}}{6}
b) \frac{\sqrt{12}+\sqrt{32}-\sqrt{20}-\sqrt{24}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Obliczyć bez użycia kalkulatora:
a) \sqrt{1764}
b) \sqrt[3]{2376}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 2, matura 2017
Liczba \sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2} jest równa :

A. \sqrt[3]{52}
B. 3
C. \sqrt[3]{2}
D. 2

Pokaż rozwiązanie zadania


Inne zagadnienia z tej lekcji

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastek arytmetyczny

Definicja pierwiastka arytmetycznego, quiz - pierwiastkowanie, przykłady obliczania pierwiastka z danej liczby.

Działania na pierwiastkach

Działania na pierwiastkach

Wzory na działania na pierwiastkach, przykłady stosowania, zadania z rozwiązaniami, dodawanie, odejmowanie pierwiastków

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika wyrażenia polega na takim przekształceniu wyrażenia, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.




© medianauka.pl, 2009-02-11, ART-147


Bibliografia

Wykaz całej bibliografii dla wszystkich artykułów opublikowanych w niniejszym serwisie znajduje się w odnośniku w stopce. Poniżej znajduje się wykaz publikacji, które w szczególności były wykorzystywane w przygotowaniu niniejszego artykułu:

  • IUCN - Czerwona Księga Gatunków Zagrożonych, ISSN 2307-8235 https://www.iucnredlist.org



Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki urodzinowe
Liczby, ich dzieje, rodzaje, własności
kolorowe skarpetki góra lodowa
Nowoczesne kompendium matematyki
kolorowe skarpetki matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.