Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Tablica

Tablica - wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Poniższa tabela zawiera te liczby, dla których z pierwiastków stopnia od 2 do 5 tych liczb można wyłączyć czynnik przed pierwiastek.

n√n3√n4√n5√n
42
82√2 2
93
122√3
164 23√22
183√2
202√5
242√6 23√3
255
273√3 3
282√7
324√2 23√424√22
366
402√10 23√5
442√11
453√5
484√3 23√624√3
497
505√2
522√13
543√6 33√2
562√14 23√7
602√15
633√7
648 424√425√2
682√17
726√2 23√9
755√3
762√19
804√5 23√1024√5
819 33√33
842√21
882√22 23√11
903√10
922√23
964√6 23√1224√625√3
987√2
993√11
10010
1042√26 23√13
1086√3 33√4
1124√7 23√1424√7
1162√29
1173√13
1202√30 23√15
12111
1242√31
1255√5 5
1263√14
1288√2 43√224√825√4
1322√33
1353√15 33√5
1362√34 23√17
1402√35
14412 23√1824√9
1477√3
1482√37
1505√6
1522√38 23√19
1533√17
1562√39
1604√10 23√2024√1025√5
1629√2 33√634√2
1642√41
1682√42 23√21
16913
1713√19
1722√43
1755√7
1764√11 23√2224√11
1806√5
1842√46 23√23
1882√47
1893√21 33√7
1928√3 43√324√1225√6
19614
1983√22
20010√2 23√25

Teoria Bardzo duże znaczenie praktyczne ma tak zwane wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Z własności działań na pierwiastkach mamy:

\sqrt[n]{a^n\cdot b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot \sqrt[n]{b}=a\sqrt[n]{b},\ a\geq0,\ b\geq 0

Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a n∙b

Przyjrzyjmy się zatem przykładom.

Przykład Przykłady

\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\\ \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt{6}

TeoriaPowyższe przykłady dotyczą małych liczb. Co zrobić, gdy mamy do czynienia z dużymi liczbami pod pierwiastkiem? Korzystamy wówczas z rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Następnie zakreślamy po tyle samo liczb pierwszych (najlepiej w różny sposób kolejne grupy) ile wynosi stopień pierwiastka i mnożymy przez siebie po jednej z każdej grupy otrzymując w ten sposób liczbę a ze wzoru a n∙b. Liczbę b stanowi iloczyn niezakreślonych liczb pierwszych.

Opisany wyżej sposób ilustruje poniższy przykład.

Przykład Przykład

Obliczamy \sqrt[3]{1296}.

rozkład liczby na czynniki pierwsze Rozkładamy więc liczbę 1296 na czynniki pierwsze i ponieważ obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia zaznaczamy grupy takich samych liczb po 3 tak, jak to ilustruje rysunek.
Zgodnie z powyższą procedurą mamy a = 2 ∙ 3 = 6 (z zakreślonych liczb) oraz b = 2 ∙ 3 = 6 (z pozostałych niezakreślonych liczb). Zatem 1296 = 6 3 ∙ 6. Z tego \sqrt[3]{1296}=\sqrt[3]{6^3\cdot 6}=6\sqrt[3]{6}.

Powyższa procedura jest prosta, ale ma jedną wadę - trzeba ją pamiętać.
Można więc po prostu skorzystać z prostego rachunku, aby uzyskać ten sam wynik.

Z rozkładu na czynniki pierwsze oraz z działań na potęgach wiemy:
1296=2∙2∙2∙2∙3∙3∙3∙3=23∙2∙33∙3=63∙6

Quizy
quiz
Quiz: Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
Poziom: podstawowy
Liczba pytań: 20

Teoria Warto poćwiczyć wyłączanie czynnika przed pierwiastek, ponieważ spotkasz się z tym praktycznie na każdym kroku podczas rozwiązywania zadań. Proponuję aby wyjąć czynnik przed pierwiastek stopnia drugiego, trzeciego, czwartego i piątego dowolnej liczby z zakresu od 10 do 10000 i sprawdzić wynik w tablicach zamieszczonych w niniejszym artykule.


kalkulator
Kalkulator
W tym miejscu możesz sprawdzić, czy można wyłączyć całkowity czynnik przed pierwiastek dla danej liczby naturalnej.

Wpisz liczbę:









Pytania

Jakie pierwiastki pojawiają się w zadaniach najczęściej?

Odpowiedź podzielimy na trzy części.

Pierwsza z nich to pierwiastki, z których można wyłączyć całkowity czynnik przed pierwiastek:

  • pierwiastek z 8, wynik 2√2;
  • pierwiastek z 12, wynik 2√3;
  • pierwiastek z 18, wynik 3√2;
  • pierwiastek z 20, wynik 2√5;
  • pierwiastek z 24, wynik 2√6;
  • pierwiastek z 32, wynik 4√2;
  • pierwiastek z 40, wynik 2√10;
  • pierwiastek z 48, wynik 4√3;
  • pierwiastek z 50, wynik 5√2;
  • pierwiastek z 72, wynik 6√2;
  • pierwiastek z 80, wynik 4√5;
  • pierwiastek z 108, wynik 6√3;
  • pierwiastek z 128, wynik 8√2;
  • pierwiastek z 180, wynik 6√5;
  • pierwiastek z 216, wynik 6√6;

Druga z nich to pierwiastki, które dają wynik całkowity:

  • √0=0;
  • √1=1;
  • √4=2;
  • √36=6;
  • √144=12;
  • √289=17;
  • √225=15;

Trzecia z nich to pierwiastki, dla których podajemy przybliżone wyniki w tablicy, którą znajdziesz tutaj.


© medianauka.pl, 2009-02-11, ART-147







Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

zadanie-ikonka Zadanie - wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Uprościć ułamek
a) \frac{\sqrt[4]{6480}}{6}
b) \frac{\sqrt{12}+\sqrt{32}-\sqrt{20}-\sqrt{24}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Obliczyć bez użycia kalkulatora:
a) \sqrt{1764}
b) \sqrt[3]{2376}

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Pierwiastek arytmetycznyPierwiastek arytmetyczny
Definicja pierwiastka arytmetycznego, quiz - pierwiastkowanie, przykłady obliczania pierwiastka z danej liczby.
Działania na pierwiastkachDziałania na pierwiastkach
Wzory na działania na pierwiastkach, przykłady stosowania, zadania z rozwiązaniami, dodawanie, odejmowanie pierwiastków
Usuwanie niewymierności z mianownikaUsuwanie niewymierności z mianownika
Usuwanie niewymierności z mianownika wyrażenia polega na takim przekształceniu wyrażenia, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.



© Media Nauka 2008-2018 r.