Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Bardzo duże znaczenie praktyczne ma tak zwane wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Z własności działań na pierwiastkach mamy:

\(\sqrt[n]{a^n\cdot b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot \sqrt[n]{b}=a\sqrt[n]{b},\ a\geq0,\ b\geq 0\)

Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek, należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: \(a^n\cdot b\).

Przyjrzyjmy się zatem przykładom.

Przykłady

\(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\)

\(\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt{6}\)

Powyższe przykłady dotyczą małych liczb. Co zrobić, gdy mamy do czynienia z dużymi liczbami pod pierwiastkiem? Korzystamy wówczas z rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Następnie zakreślamy po tyle samo liczb pierwszych (najlepiej w różny sposób kolejne grupy) ile wynosi stopień pierwiastka i mnożymy przez siebie po jednej z każdej grupy otrzymując w ten sposób liczbę a ze wzoru \(a^n\cdot b\). Liczbę b stanowi iloczyn niezakreślonych liczb pierwszych.

Opisany wyżej sposób ilustruje poniższy przykład.

Przykłady

Obliczamy \(\sqrt[3]{1296}\).

rozkład liczby na czynniki pierwsze Rozkładamy więc liczbę 1296 na czynniki pierwsze i ponieważ obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia, zaznaczamy grupy takich samych liczb po trzy, tak jak to ilustruje rysunek.
Zgodnie z powyższą procedurą mamy \(a=2\cdot 3=6\) (z zakreślonych liczb) oraz \(b=2\cdot 3=6\) (z pozostałych niezakreślonych liczb). Zatem \(1296=6^3\cdot 6\). Z tego \(\sqrt[3]{1296}=\sqrt[3]{6^3\cdot 6}=6\sqrt[3]{6}\).

Powyższa procedura jest prosta, ale ma jedną wadę — trzeba ją pamiętać. Można więc po prostu skorzystać z prostego rachunku, aby uzyskać ten sam wynik.

Z rozkładu na czynniki pierwsze oraz z działań na potęgach wiemy:
\(1296=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=2^3\cdot 2\cdot 3^3\cdot 3=6^3\cdot 6\).

Warto poćwiczyć wyłączanie czynnika przed pierwiastek, ponieważ spotkasz się z tym praktycznie na każdym kroku podczas rozwiązywania zadań. Proponuję, aby wyjąć czynnik przed pierwiastek stopnia drugiego, trzeciego, czwartego i piątego dowolnej liczby z zakresu od 10 do 10000 i sprawdzić wynik w tablicach zamieszczonych w niniejszym artykule.

Kalkulator

kalkulator
W tym miejscu możesz sprawdzić, czy można wyłączyć całkowity czynnik przed pierwiastek dla danej liczby naturalnej.

Wpisz liczbę:










Pytania

Jakie pierwiastki pojawiają się w zadaniach najczęściej?

Odpowiedź podzielimy na trzy części.

Pierwsza z nich to pierwiastki, z których można wyłączyć całkowity czynnik przed pierwiastek:

  • pierwiastek z 8, wynik \(2\sqrt{2}\);
  • pierwiastek z 12, wynik \(2\sqrt{3}\);
  • pierwiastek z 18, wynik \(3\sqrt{2}\);
  • pierwiastek z 20, wynik \(2\sqrt{5}\);
  • pierwiastek z 24, wynik \(2\sqrt{6}\);
  • pierwiastek z 32, wynik \(4\sqrt{2}\);
  • pierwiastek z 40, wynik \(2\sqrt{10}\);
  • pierwiastek z 48, wynik \(4\sqrt{3}\);
  • pierwiastek z 50, wynik \(5\sqrt{2}\);
  • pierwiastek z 72, wynik \(6\sqrt{2}\);
  • pierwiastek z 80, wynik \(4\sqrt{5}\);
  • pierwiastek z 108, wynik \(6\sqrt{3}\);
  • pierwiastek z 128, wynik \(8\sqrt{2}\);
  • pierwiastek z 180, wynik \(6\sqrt{5}\);
  • pierwiastek z 216, wynik \(6\sqrt{6}\);

Druga z nich to pierwiastki, które dają wynik całkowity:

  • \(\sqrt{0}=0\);
  • \(\sqrt{1}=1\);
  • \(\sqrt{4}=2\);
  • \(\sqrt{36}=6\);
  • \(\sqrt{144}=12\);
  • \(\sqrt{289}=17\);
  • \(\sqrt{225}=15\);

Trzecia z nich to pierwiastki, dla których podajemy przybliżone wyniki w tablicy, którą znajdziesz tutaj.

Tablice

Tablica

Tablica — wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Poniższa tabela zawiera te liczby, dla których z pierwiastków stopnia od 2 do 5 tych liczb można wyłączyć czynnik przed pierwiastek.

\(n\) \(\sqrt{n}\) \(\sqrt[3]{n}\) \(\sqrt[4]{n}\) \(\sqrt[5]{n}\)
42
82√2 2
93
122√3
164 23√22
183√2
202√5
242√6 23√3
255
273√3 3
282√7
324√2 23√424√22
366
402√10 23√5
442√11
453√5
484√3 23√624√3
497
505√2
522√13
543√6 33√2
562√14 23√7
602√15
633√7
648 424√425√2
682√17
726√2 23√9
755√3
762√19
804√5 23√1024√5
819 33√33
842√21
882√22 23√11
903√10
922√23
964√6 23√1224√625√3
987√2
993√11
10010
1042√26 23√13
1086√3 33√4
1124√7 23√1424√7
1162√29
1173√13
1202√30 23√15
12111
1242√31
1255√5 5
1263√14
1288√2 43√224√825√4
1322√33
1353√15 33√5
1362√34 23√17
1402√35
14412 23√1824√9
1477√3
1482√37
1505√6
1522√38 23√19
1533√17
1562√39
1604√10 23√2024√1025√5
1629√2 33√634√2
1642√41
1682√42 23√21
16913
1713√19
1722√43
1755√7
1764√11 23√2224√11
1806√5
1842√46 23√23
1882√47
1893√21 33√7
1928√3 43√324√1225√6
19614
1983√22
20010√2 23√25


Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Uprościć ułamek

a) \frac{\sqrt[4]{6480}}{6}

b) \frac{\sqrt{12}+\sqrt{32}-\sqrt{20}-\sqrt{24}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć bez użycia kalkulatora:

a) \sqrt{1764}

b) \sqrt[3]{2376}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Liczba \sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2} jest równa :

A. \sqrt[3]{52}

B. 3

C. 2\sqrt[3]{2}

D. 2

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji

Pierwiastek arytmetycznyPierwiastek arytmetyczny
Działania na pierwiastkachDziałania na pierwiastkach
Usuwanie niewymierności z mianownikaUsuwanie niewymierności z mianownika
testPierwiastkowanie

© medianauka.pl, 2009-02-11, A-147
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-22



Lubię to!
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.