Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Tablica - wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Poniższa tabela zawiera te liczby, dla których z pierwiastków stopnia od 2 do 5 tych liczb można wyłączyć czynnik przed pierwiastek.
n | √n | 3√n | 4√n | 5√n |
4 | 2 | |||
8 | 2√2 | 2 | ||
9 | 3 | |||
12 | 2√3 | |||
16 | 4 | 23√2 | 2 | |
18 | 3√2 | |||
20 | 2√5 | |||
24 | 2√6 | 23√3 | ||
25 | 5 | |||
27 | 3√3 | 3 | ||
28 | 2√7 | |||
32 | 4√2 | 23√4 | 24√2 | 2 |
36 | 6 | |||
40 | 2√10 | 23√5 | ||
44 | 2√11 | |||
45 | 3√5 | |||
48 | 4√3 | 23√6 | 24√3 | |
49 | 7 | |||
50 | 5√2 | |||
52 | 2√13 | |||
54 | 3√6 | 33√2 | ||
56 | 2√14 | 23√7 | ||
60 | 2√15 | |||
63 | 3√7 | |||
64 | 8 | 4 | 24√4 | 25√2 |
68 | 2√17 | |||
72 | 6√2 | 23√9 | ||
75 | 5√3 | |||
76 | 2√19 | |||
80 | 4√5 | 23√10 | 24√5 | |
81 | 9 | 33√3 | 3 | |
84 | 2√21 | |||
88 | 2√22 | 23√11 | ||
90 | 3√10 | |||
92 | 2√23 | |||
96 | 4√6 | 23√12 | 24√6 | 25√3 |
98 | 7√2 | |||
99 | 3√11 | |||
100 | 10 | |||
104 | 2√26 | 23√13 | ||
108 | 6√3 | 33√4 | ||
112 | 4√7 | 23√14 | 24√7 | |
116 | 2√29 | |||
117 | 3√13 | |||
120 | 2√30 | 23√15 | ||
121 | 11 | |||
124 | 2√31 | |||
125 | 5√5 | 5 | ||
126 | 3√14 | |||
128 | 8√2 | 43√2 | 24√8 | 25√4 |
132 | 2√33 | |||
135 | 3√15 | 33√5 | ||
136 | 2√34 | 23√17 | ||
140 | 2√35 | |||
144 | 12 | 23√18 | 24√9 | |
147 | 7√3 | |||
148 | 2√37 | |||
150 | 5√6 | |||
152 | 2√38 | 23√19 | ||
153 | 3√17 | |||
156 | 2√39 | |||
160 | 4√10 | 23√20 | 24√10 | 25√5 |
162 | 9√2 | 33√6 | 34√2 | |
164 | 2√41 | |||
168 | 2√42 | 23√21 | ||
169 | 13 | |||
171 | 3√19 | |||
172 | 2√43 | |||
175 | 5√7 | |||
176 | 4√11 | 23√22 | 24√11 | |
180 | 6√5 | |||
184 | 2√46 | 23√23 | ||
188 | 2√47 | |||
189 | 3√21 | 33√7 | ||
192 | 8√3 | 43√3 | 24√12 | 25√6 |
196 | 14 | |||
198 | 3√22 | |||
200 | 10√2 | 23√25 |
Bardzo duże znaczenie praktyczne ma tak zwane wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Z własności działań na pierwiastkach mamy:
![\sqrt[n]{a^n\cdot b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot \sqrt[n]{b}=a\sqrt[n]{b},\ a\geq0,\ b\geq 0](matematyka/wzory/147/1.gif)
Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a n∙b
Przyjrzyjmy się zatem przykładom.
Przykłady
![\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2}=\sqrt[3]{3^3}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\\ \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt{6}](matematyka/wzory/147/2.gif)
Powyższe przykłady dotyczą małych liczb. Co zrobić, gdy mamy do czynienia z dużymi liczbami pod pierwiastkiem? Korzystamy wówczas z rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Następnie zakreślamy po tyle samo liczb pierwszych (najlepiej w różny sposób kolejne grupy) ile wynosi stopień pierwiastka i mnożymy przez siebie po jednej z każdej grupy otrzymując w ten sposób liczbę a ze wzoru a n∙b. Liczbę b stanowi iloczyn niezakreślonych liczb pierwszych.
Opisany wyżej sposób ilustruje poniższy przykład.
Przykład
Obliczamy .

Zgodnie z powyższą procedurą mamy a = 2 ∙ 3 = 6 (z zakreślonych liczb) oraz b = 2 ∙ 3 = 6 (z pozostałych niezakreślonych liczb). Zatem 1296 = 6 3 ∙ 6. Z tego
![\sqrt[3]{1296}=\sqrt[3]{6^3\cdot 6}=6\sqrt[3]{6}](matematyka/wzory/147/4.gif)
Powyższa procedura jest prosta, ale ma jedną wadę - trzeba ją pamiętać.
Można więc po prostu skorzystać z prostego rachunku, aby uzyskać ten sam wynik.
Z rozkładu na czynniki pierwsze oraz z działań na potęgach wiemy:
1296=2∙2∙2∙2∙3∙3∙3∙3=23∙2∙33∙3=63∙6
Warto poćwiczyć wyłączanie czynnika przed pierwiastek, ponieważ spotkasz się z tym praktycznie na każdym kroku podczas rozwiązywania zadań. Proponuję aby wyjąć czynnik przed pierwiastek stopnia drugiego, trzeciego, czwartego i piątego dowolnej liczby z zakresu od 10 do 10000 i sprawdzić wynik w tablicach zamieszczonych w niniejszym artykule.

Kalkulator
W tym miejscu możesz sprawdzić, czy można wyłączyć całkowity czynnik przed pierwiastek dla danej liczby naturalnej.
Wpisz liczbę:
Pytania
Jakie pierwiastki pojawiają się w zadaniach najczęściej?
Odpowiedź podzielimy na trzy części.
Pierwsza z nich to pierwiastki, z których można wyłączyć całkowity czynnik przed pierwiastek:
- pierwiastek z 8, wynik 2√2;
- pierwiastek z 12, wynik 2√3;
- pierwiastek z 18, wynik 3√2;
- pierwiastek z 20, wynik 2√5;
- pierwiastek z 24, wynik 2√6;
- pierwiastek z 32, wynik 4√2;
- pierwiastek z 40, wynik 2√10;
- pierwiastek z 48, wynik 4√3;
- pierwiastek z 50, wynik 5√2;
- pierwiastek z 72, wynik 6√2;
- pierwiastek z 80, wynik 4√5;
- pierwiastek z 108, wynik 6√3;
- pierwiastek z 128, wynik 8√2;
- pierwiastek z 180, wynik 6√5;
- pierwiastek z 216, wynik 6√6;
Druga z nich to pierwiastki, które dają wynik całkowity:
- √0=0;
- √1=1;
- √4=2;
- √36=6;
- √144=12;
- √289=17;
- √225=15;
Trzecia z nich to pierwiastki, dla których podajemy przybliżone wyniki w tablicy, którą znajdziesz tutaj.
© medianauka.pl, 2009-02-11, ART-147
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Zadanie - wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Uprościć ułamek
a)
b)
Zadanie - wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Obliczyć bez użycia kalkulatora:
a)
b)
Zadanie maturalne nr 2, matura 2017
Liczba jest równa :
A.
B. 3
C.
D. 2
Inne zagadnienia z tej lekcji

Definicja pierwiastka arytmetycznego, quiz - pierwiastkowanie, przykłady obliczania pierwiastka z danej liczby.

Wzory na działania na pierwiastkach, przykłady stosowania, zadania z rozwiązaniami, dodawanie, odejmowanie pierwiastków

Usuwanie niewymierności z mianownika wyrażenia polega na takim przekształceniu wyrażenia, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.
Bibliografia
Wykaz całej bibliografii dla wszystkich artykułów opublikowanych w niniejszym serwisie znajduje się w odnośniku w stopce. Poniżej znajduje się wykaz publikacji, które w szczególności były wykorzystywane w przygotowaniu niniejszego artykułu:
- IUCN - Czerwona Księga Gatunków Zagrożonych, ISSN 2307-8235 IUCN