Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika wyrażenia polega na takim przekształceniu tego wyrażenia, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Przykład

$\frac{2}{sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Zatem mnożymy licznik i mianownik przez taką liczbę niewymierną, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Jeżeli w mianowniku mamy sumę lub różnicę korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ .

Przykład

$\frac{2}{3+\sqrt{2}}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}=\frac{6-2\sqrt{2}}{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{6-2\sqrt{2}}{9-2}=\frac{6-2\sqrt{2}}{7}$

$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=-\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Podobnie postępujemy w innych przypadkach. Poniższy przykład ilustruje, jak pozbyć się niewymierności z mianownika, gdy w mianowniku mamy do czynienia z sumą trzech liczb niewymiernych.

Przykład

Usuń niewymierność z mianownika liczby $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ .

Tutaj również można zastosować wzór skróconego mnożenia, jednak dla ułatwienia sobie rachunków można dokonać podstawienia $m=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ .

Mamy wówczas:

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{1}{m+\sqrt{5}}=\frac{m-\sqrt{5}}{(m+\sqrt{5})(m-\sqrt{5})}=\frac{m-\sqrt{5}}{m^{2}-5}$

Podstawiając teraz z powrotem za m liczbę $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ możemy dalej kontynuować rachunki:

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+3)-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}+5-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}=$

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\cdot6}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$

Pytania

Po co usuwać niewymierność z mianownika?

Niewymierność z mianownika ułamka usuwa się z co najmniej dwóch powodów:

dla możliwości uzyskania lepszej dokładności przybliżenia wartości ułamka (dzieląc na przykład kolejne przybliżenia pierwiastka z dwóch przez 2 uzyskujemy dokładniejsze wyniki, niż dzieląc jedność przez kolejne przybliżenia pierwiastka z dwóch),
dla łatwego ręcznego obliczenia przybliżenia wartości ułamka z niewymiernością (łatwiej jest podzielić przybliżenie przez liczbę naturalną niż odwrotnie).

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Usuwanie niewymierności z mianownika

Zadanie - działania na pierwiastkach - Zadanie: Uprościć wyrażenie algebraiczne.
Uprościć wyrażenie $W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$ , wiedząc, że x>-1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - usuwanie niewymierności z mianownika
Pozbyć się niewymierności z mianownika
a)
b) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Pierwiastek arytmetyczny
Definicja pierwiastka arytmetycznego, quiz - pierwiastkowanie, przykłady obliczania pierwiastka z danej liczby.

Działania na pierwiastkach
Wzory na działania na pierwiastkach, przykłady stosowania, zadania z rozwiązaniami, dodawanie, odejmowanie pierwiastków

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Bardzo duże znaczenie praktyczne ma tak zwane wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a n∙b.

Test wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.