Logo Media Nauka

Facebook

Usuwanie niewymierności z mianownika

Teoria Usuwanie niewymierności z mianownika wyrażenia polega na takim przekształceniu tego wyrażenia, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Przykład Przykład

\frac{2}{sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}

Zatem mnożymy licznik i mianownik przez taką liczbę niewymierną, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Jeżeli w mianowniku mamy sumę lub różnicę korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.

Przykład Przykład

\frac{2}{3+\sqrt{2}}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}=\frac{6-2\sqrt{2}}{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{6-2\sqrt{2}}{9-2}=\frac{6-2\sqrt{2}}{7}

\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=-\sqrt{2}-\sqrt{3}

Podobnie postępujemy w innych przypadkach. Poniższy przykład ilustruje, jak pozbyć się niewymierności z mianownika, gdy w mianowniku mamy do czynienia z sumą trzech liczb niewymiernych.

Przykład Przykład

Usuń niewymierność z mianownika liczby \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}.

Tutaj również można zastosować wzór skróconego mnożenia, jednak dla ułatwienia sobie rachunków można dokonać podstawienia m=\sqrt{2}+\sqrt{3}.

Mamy wówczas:

\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{1}{m+\sqrt{5}}=\frac{m-\sqrt{5}}{(m+\sqrt{5})(m-\sqrt{5})}=\frac{m-\sqrt{5}}{m^{2}-5}

Podstawiając teraz z powrotem za m liczbę \sqrt{2}+\sqrt{3} możemy dalej kontynuować rachunki:

\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+3)-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}+5-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}=

\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\cdot6}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}

Pytania

Po co usuwać niewymierność z mianownika?

Niewymierność z mianownika ułamka usuwa się z co najmniej dwóch powodów:

  1. dla możliwości uzyskania lepszej dokładności przybliżenia wartości ułamka (dzieląc na przykład kolejne przybliżenia pierwiastka z dwóch przez 2 uzyskujemy dokładniejsze wyniki, niż dzieląc jedność przez kolejne przybliżenia pierwiastka z dwóch),
  2. dla łatwego ręcznego obliczenia przybliżenia wartości ułamka z niewymiernością (łatwiej jest podzielić przybliżenie przez liczbę naturalną niż odwrotnie).

© medianauka.pl, 2009-02-15, ART-148


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Usuwanie niewymierności z mianownika

zadanie-ikonka Zadanie - działania na pierwiastkach - Zadanie: Uprościć wyrażenie algebraiczne.
Uprościć wyrażenie W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}, wiedząc, że x>-1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - usuwanie niewymierności z mianownika
Pozbyć się niewymierności z mianownika
a) wzór
b) \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Pierwiastek arytmetycznyPierwiastek arytmetyczny
Definicja pierwiastka arytmetycznego, quiz - pierwiastkowanie, przykłady obliczania pierwiastka z danej liczby.
Działania na pierwiastkachDziałania na pierwiastkach
Wzory na działania na pierwiastkach, przykłady stosowania, zadania z rozwiązaniami, dodawanie, odejmowanie pierwiastków
Wyłączanie czynnika przed pierwiastekWyłączanie czynnika przed pierwiastek
Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a n∙b.
TestTest wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.







Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Matematyka
Kubek matematyka pi
kolorowe skarpetki matematyka
Rodzinna matematyka
Kolorowe skarpetki Miasto
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.