Usuwanie niewymierności z mianownika

Teoria Usuwanie niewymierności z mianownika wyrażenia polega na takim przekształceniu tego wyrażenia, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Przykład Przykład

\frac{2}{sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}

Zatem mnożymy licznik i mianownik przez taką liczbę niewymierną, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Jeżeli w mianowniku mamy sumę lub różnicę korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.

Przykład Przykład

\frac{2}{3+\sqrt{2}}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}=\frac{6-2\sqrt{2}}{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{6-2\sqrt{2}}{9-2}=\frac{6-2\sqrt{2}}{7}

\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=-\sqrt{2}-\sqrt{3}

Podobnie postępujemy w innych przypadkach. Poniższy przykład ilustruje, jak pozbyć się niewymierności z mianownika, gdy w mianowniku mamy do czynienia z sumą trzech liczb niewymiernych.

Przykład Przykład

Usuń niewymierność z mianownika liczby \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}.

Tutaj również można zastosować wzór skróconego mnożenia, jednak dla ułatwienia sobie rachunków można dokonać podstawienia m=\sqrt{2}+\sqrt{3}.

Mamy wówczas:

\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{1}{m+\sqrt{5}}=\frac{m-\sqrt{5}}{(m+\sqrt{5})(m-\sqrt{5})}=\frac{m-\sqrt{5}}{m^{2}-5}

Podstawiając teraz z powrotem za m liczbę \sqrt{2}+\sqrt{3} możemy dalej kontynuować rachunki:

\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+3)-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}+5-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}=

\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\cdot6}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}

Pytania

Po co usuwać niewymierność z mianownika?

Niewymierność z mianownika ułamka usuwa się z co najmniej dwóch powodów:

  1. dla możliwości uzyskania lepszej dokładności przybliżenia wartości ułamka (dzieląc na przykład kolejne przybliżenia pierwiastka z dwóch przez 2 uzyskujemy dokładniejsze wyniki, niż dzieląc jedność przez kolejne przybliżenia pierwiastka z dwóch),
  2. dla łatwego ręcznego obliczenia przybliżenia wartości ułamka z niewymiernością (łatwiej jest podzielić przybliżenie przez liczbę naturalną niż odwrotnie).



Zadania z rozwiązaniami

zadania
Zadania związane z tematem:
Usuwanie niewymierności z mianownika

zadanie-ikonka Zadanie - działania na pierwiastkach - Zadanie: Uprościć wyrażenie algebraiczne.
Uprościć wyrażenie W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}, wiedząc, że x>-1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - usuwanie niewymierności z mianownika
Pozbyć się niewymierności z mianownika
a) wzór
b) \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}

Pokaż rozwiązanie zadania


Inne zagadnienia z tej lekcji

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastek arytmetyczny

Definicja pierwiastka arytmetycznego, quiz - pierwiastkowanie, przykłady obliczania pierwiastka z danej liczby.

Działania na pierwiastkach

Działania na pierwiastkach

Wzory na działania na pierwiastkach, przykłady stosowania, zadania z rozwiązaniami, dodawanie, odejmowanie pierwiastków

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Bardzo duże znaczenie praktyczne ma tak zwane wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a n∙b.

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.




© medianauka.pl, 2009-02-15, ART-148





Polecamy w naszym sklepie

Rodzinna matematyka
Tabliczka mnożenia - gra planszowa
Kolorowe skarpetki - Lollypop
Liczby, ich dzieje, rodzaje, własności
Gry i zabawy znane i lubiane Matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.