Strona główna » Matematyka » Usuwanie niewymierności z mianownika

Zadanie - działania na pierwiastkach - Zadanie: Uprościć wyrażenie algebraiczne.

Uprościć wyrażenie $W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$ , wiedząc, że x>-1

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}- \frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$
$=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1)^2}}- \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{|x+1|}- \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x+1|}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$

Z warunków zadania wynika, że x>-1, czyli x+1>0, więc możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej.

$W=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}- \cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}+\cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dodamy do siebie wszystkie składniki sumy. Wspólnym mianownikiem będzie wyrażenie x+1. Aby tak było, musimy pomnożyć licznik i mianownik dwóch pierwszych ułamków przez $\sqrt{x+1}$ (pozbędziemy się wówczas niewymierności z mianownika).

Wykonujemy kolejno działania, korzystając ze wzoru:

$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$

$W=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}- \frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}= \\ =\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1)^2}}- \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$ tło

Dla fragmentu wyrażenia zaznaczonego na zielono zastosujemy wzór

$\sqrt{a^2}=|a|$

Dla fragmentu zaznaczonego na żółto zastosujemy wzór skróconego mnożenia.

Otrzymamy wówczas

$W=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1)^2}}- \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{|x+1|}- \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x+1|}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$

Z warunków zadania wynika, że x>-1, czyli x+1>0 i oznacza to, że pod wartością bezwzględną mamy cały czas wyrażenie o dodatniej wartości - możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej.

$W=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}- \cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}+\cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}$