Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - usuwanie niewymierności z mianownika


Pozbyć się niewymierności z mianownika
a) wzór
b) \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}


ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Aby pozbyć się niewymierności z mianownika (w mianowniku nie powinno być pierwiastka) musimy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez 1+\sqrt{7}. Będziemy mogli wówczas skorzystać z wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Mamy więc

\frac{7}{1-\sqrt{7}}=\frac{7(1+\sqrt{7})}{(1-\sqrt{7})(1+\sqrt{7})}=\frac{7+7\sqrt{7}}{1^2-(\sqrt{7})^2}\\ =\frac{7+7\sqrt{7}}{1-7}=\frac{7+7\sqrt{7}}{-6}=-\frac{7+7\sqrt{7}}{6}

ksiązki Odpowiedź

\frac{7}{1-\sqrt{7}}=-\frac{7+7\sqrt{7}}{6}

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Aby pozbyć się niewymierności z mianownika (w mianowniku nie powinno być pierwiastka) musimy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}).

\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{1\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}= tło tło tło tło

Możemy więc zastosować wzór skróconego mnożenia:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Widzimy, że a=\sqrt{2}+\sqrt{3}, natomiast b=\sqrt{5}. Stosujemy więc wzór i otrzymujemy:

\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2} tło

Dla fragmentu wyrażenia zaznaczonego kolorem zielonym możemy zastosować inny wzór skróconego mnożenia:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Mamy więc:

\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2})^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}} tło

Nadal mamy pierwiastek w mianowniku, ale już tylko jeden. Wystarczy już tylko pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez ten pierwiastek.

\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\cdot 6}=\\ =\frac{\sqrt{3\cdot 4}+\sqrt{2\cdot 9}-\sqrt{30}}{12}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}

ksiązki Odpowiedź

\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}

© medianauka.pl, 2010-04-07, ZAD-753





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.