Strona główna » Matematyka » Przykłady zastosowania wzorów skróconego mnożenia • Usuwanie niewymierności z mianownika

Zadanie - usuwanie niewymierności z mianownika

Pozbyć się niewymierności z mianownika
a)

b) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

a) Rozwiązanie zadania

Aby pozbyć się niewymierności z mianownika (w mianowniku nie powinno być pierwiastka) musimy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez $1+\sqrt{7}$ . Będziemy mogli wówczas skorzystać z wzoru skróconego mnożenia:

Mamy więc

$\frac{7}{1-\sqrt{7}}=\frac{7(1+\sqrt{7})}{(1-\sqrt{7})(1+\sqrt{7})}=\frac{7+7\sqrt{7}}{1^2-(\sqrt{7})^2}\\ =\frac{7+7\sqrt{7}}{1-7}=\frac{7+7\sqrt{7}}{-6}=-\frac{7+7\sqrt{7}}{6}$

Odpowiedź

$\frac{7}{1-\sqrt{7}}=-\frac{7+7\sqrt{7}}{6}$

b) Rozwiązanie zadania

Aby pozbyć się niewymierności z mianownika (w mianowniku nie powinno być pierwiastka) musimy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez $(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{1\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}=$ tło

Możemy więc zastosować wzór skróconego mnożenia:

Widzimy, że $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ , natomiast $b=\sqrt{5}$ . Stosujemy więc wzór i otrzymujemy:

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}$ tło

Dla fragmentu wyrażenia zaznaczonego kolorem zielonym możemy zastosować inny wzór skróconego mnożenia:

Mamy więc:

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2})^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$ tło

Nadal mamy pierwiastek w mianowniku, ale już tylko jeden. Wystarczy już tylko pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez ten pierwiastek.

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\cdot 6}=\\ =\frac{\sqrt{3\cdot 4}+\sqrt{2\cdot 9}-\sqrt{30}}{12}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$