Zadanie - usuwanie niewymierności z mianownika
Treść zadania:
Pozbyć się niewymierności z mianownika
a) \(\frac{7}{1-\sqrt{7}}\)
b) \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
Rozwiązanie części a)
Aby pozbyć się niewymierności z mianownika (w mianowniku nie powinno być pierwiastka), musimy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez \(1+\sqrt{7}\). Będziemy mogli wówczas skorzystać z wzoru skróconego mnożenia:
Mamy więc:
\(\frac{7}{1-\sqrt{7}}=\frac{7(1+\sqrt{7})}{(1-\sqrt{7})(1+\sqrt{7})}=\frac{7+7\sqrt{7}}{1^2-(\sqrt{7})^2}\)
\(=\frac{7+7\sqrt{7}}{1-7}=\frac{7+7\sqrt{7}}{-6}=-\frac{7+7\sqrt{7}}{6}\)
Odpowiedź
Rozwiązanie części b)
Aby pozbyć się niewymierności z mianownika (w mianowniku nie powinno być pierwiastka), musimy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez \((\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\).
\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{1\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}=\)
Możemy więc zastosować wzór skróconego mnożenia:
Widzimy, że \(a=\sqrt{2}+\sqrt{3}\), natomiast \(b=\sqrt{5}\). Stosujemy więc wzór i otrzymujemy:
\(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}\)
Dla fragmentu wyrażenia zaznaczonego kolorem zielonym możemy zastosować inny wzór skróconego mnożenia:
Mamy więc:
\(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2})^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}\)
Nadal mamy pierwiastek w mianowniku, ale już tylko jeden. Wystarczy już tylko pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez ten pierwiastek.
\(\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\cdot 6}=\)
\(=\frac{\sqrt{3\cdot 4}+\sqrt{2\cdot 9}-\sqrt{30}}{12}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-04-07, ZAD-753
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Oblicz:
a) \((5+2x)^2\)
b) \((a-\frac{1}{2})^2\)
c) \((\sqrt{2}-2+\sqrt{3})^2\)
Zadanie nr 5.
Oblicz:
a) \((1-\frac{\sqrt{2}}{2})(1+\frac{\sqrt{2}}{2})\)
b) \((1+\sqrt{2})^3\)
c) \((\sqrt{3}-\sqrt{2})^3\)
d) \((5xy-\sqrt{2}x)^2\)
e) \((1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\)
Zadanie nr 6.
Rozłożyć na czynniki wyrażenie \(24-10a+a^2\), korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
Zadanie nr 7.
Rozłożyć na czynniki wyrażenie \(12a^2-12a+3\), korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
Zadanie nr 8.
Rozłożyć na czynniki sumę \(2\sqrt{2}+a\sqrt{2}-2\sqrt{3}-a\sqrt{3}\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla:
A. \(a=3\)
B. \(a=1\)
C. \(a=-2\)
D. \(a=-3\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W rozwinięciu wyrażenia \((2\sqrt{3}x+4y)^3\) współczynnik przy iloczynie \(xy^2\) jest równy
A. \(32\sqrt{3}\)
B. \(48\)
C. \(96\sqrt{3}\)
D. \(144\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla:
A. \(m=5\)
B. \(m=4\)
C. \(m=1\)
D. \(m=-5\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność
Zadanie nr 13 — maturalne.
Liczba \((3-2\sqrt{3})^3\) jest równa:
A. \(27-24\sqrt{3}\)
B. \(27-30\sqrt{3}\)
C. \(135-78\sqrt{3}\)
D. \(135-30\sqrt{3}\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x^4-x^2-2x+3>0\).
Zadanie nr 15 — maturalne.
Wartość wyrażenia \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}\) jest równa:
A. \(-2\)
B. \(-2\sqrt{3}\)
C. \(2\)
D. \(2\sqrt{3}\)
Zadanie nr 16 — maturalne.
Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\):
A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zadanie nr 17 — maturalne.
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(x, y\) prawdziwa jest nierówność \(x^2y^2+2x^2+2y^2−8xy+4 > 0\).
Zadanie nr 18 — maturalne.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2−2ab+3b^2\geq 0\).
Zadanie nr 19 — maturalne.
Wartość wyrażenia \(x^2−6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa
A. \(1\)
B. \(3\)
C. \(1+2\sqrt{3}\)
D. \(1-2\sqrt{3}\)
Zadanie nr 20 — maturalne.
Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \(a^2+2a=4b^2+4b\). Wykaż, że \(a=2b\).
Zadanie nr 21 — maturalne.
Liczba \((2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2\) jest równa
A. \(2\)
B. \(1\)
C. \(26\)
D. \(14\)
Zadanie nr 22 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(3a+3)^2\) jest równe
A. \(-24a\)
B. \(0\)
C. \(18\)
D. \(16a^2-24a\)