Zadanie maturalne nr 5, matura 2017 (poziom rozszerzony)


Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x2y2+2x2+2y2−8xy+4>0.

ksiązki Rozwiązanie zadania

Spróbujmy przekształcić naszą nierówność tak aby uzyskać kwadraty liczb z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia:

Mamy więc:

\( x^2y^2+2x^2+2y^2−8xy+4>0 \)

\( x^2y^2+2x^2+2y^2−4xy-4xy+4>0 \)

Pogrupujmy wyrazy następująco:

\( (x^2y^2−4xy+4)+(2x^2-4xy+2y^2)>0 \)

\( (xy−2)^2+2(x^2-2xy+y^2)>0 \)

\( (xy−2)^2+2(x-y)^2>0 \)

Ponieważ liczby x i y są różne, to widać, że po lewej stronie nierówności mamy sumę liczby nieujemnej i dodatniej, która zawsze jest dodatnia. To kończy dowód.


© medianauka.pl, 2022-12-29, ZAD-4571

Zadania podobne

kulkaZadanie - rozkładanie na czynniki wyrażenia
Rozłożyć na czynniki wyrażenie x^4-y^4

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozkład sumy algebraicznej na czynniki
Rozłożyć na czynniki wyrażenie 24-10a+a^2, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozkładanie sum algebraicznych na czynniki
Rozłożyć na czynniki wyrażenie 12a^2-12a+3, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozkład sumy algebraicznej na czynniki
Rozłożyć na czynniki sumę 2\sqrt{2}+a\sqrt{2}-2\sqrt{3}-a\sqrt{3}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - usuwanie niewymierności z mianownika
Pozbyć się niewymierności z mianownika
a) wzór
b) \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 27, matura 2015 (poziom podstawowy)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x^2-8xy+5y^2\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 8, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x^4-x^2-2x+3>0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 3, matura 2014
Wartość wyrażenia \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1} jest równa:

A. -2
B. -2\sqr{3}
C. 2
D. 2\sqr{3}

Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.