Strona główna » Matematyka » Wzory skróconego mnożenia

Zadanie - wzory skróconego mnożenia

Oblicz:
a) $(1-\frac{\sqrt{2}}{2})(1+\frac{\sqrt{2}}{2})$
b) $(1+\sqrt{2})^3$
c) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^3$
d) $(5xy-\sqrt{2}x)^2$
e) $(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$

a) Rozwiązanie zadania

Stosujemy wzór skróconego mnożenia:

Mamy więc:

$(1-\frac{\sqrt{2}}{2})(1+\frac{\sqrt{2}}{2})=1^2-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=1-\frac{2}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Odpowiedź

$(1-\frac{\sqrt{2}}{2})(1+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}$

b) Rozwiązanie zadania

Stosujemy wzór skróconego mnożenia:

Mamy więc:

$(1+\sqrt{2})^3=1^3+3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 1\cdot (\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^3=\\ =1+3\sqrt{2}+3\cdot 2+\sqrt{2^3}=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}$

Odpowiedź

$(1+\sqrt{2})^3=7+5\sqrt{2}$

c) Rozwiązanie zadania

Stosujemy wzór skróconego mnożenia:

Mamy więc:

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^3=(\sqrt{3})^3-3(\sqrt{3})^2\sqrt{2}+3\sqrt{3}(\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^3=\\ =3\sqrt{3}-9\sqrt{2}+6\sqrt{3}-2\sqrt{2}=9\sqrt{3}-11\sqrt{2}$

Odpowiedź

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^3=9\sqrt{3}-11\sqrt{2}$

d) Rozwiązanie zadania

Stosujemy wzór skróconego mnożenia:

Mamy więc:

$(5xy-\sqrt{2}x)^2=(5xy)^2-2\cdot 5xy\cdot \sqrt{2}x+(\sqrt{2}x)^2= \\ =25x^2y^2-10\sqrt{2}x^2y+2x^2$

Odpowiedź

$(5xy-\sqrt{2}x)^2=25x^2y^2-10\sqrt{2}x^2y+2x^2$

e) Rozwiązanie zadania

Stosujemy wzór skróconego mnożenia:

widząc, że a to pierwsze wyrażenie w nawiasie wewnętrznym, a b to drugie wyrażenie w nawiasie wewnętrznym. Mamy więc:

$(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})^2=\\ =[(1+\sqrt{3})-(\sqrt{3}+\sqrt{5})]^2=\\ =(1+\sqrt{2})^2-2(1+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=\\ =1+2\sqrt{2}+2-2(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{10})+3+2\sqrt{15}+5=\\ = 11+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{5}-2\sqrt{6}-2\sqrt{10}+2\sqrt{15}$