Nauka » Matematyka » Wzajemne położenie prostych

Zadanie maturalne nr 32, matura 2018

W układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.

Rozwiązanie zadania

Sporządzimy najpierw rysunek poglądowy:

rysunek

Znajdziemy równanie prostej, która przechodzi przez punkty A i B. Ich współrzędne spełniają równanie tej prostej y=ax+b.

$ A=(4,3), B=(10,5)$

$ y-ax+b$

$ \begin{cases}3=4a+b \\ 5=10a+b\end{cases} $

Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymamy:

$2=6a/:6$

$a=\frac{1}{3}$

$b=\frac{5}{3}$

$y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$

Znajdziemy teraz równanie prostej y=mx+n, która wyznacza trójkąt prostokątny ABC, taki, że kąt ABC jest kątem prostym. Prosta ta jest prostopadła do prostej wyznaczonej przez punkty A i B. Zatem współczynnik kierunkowy tej prostej jest przeciwny i odwrotny do wyznaczonego.

$m=-\frac{1}{a}$

$m=-\frac{1}{\frac{1}{3}}$

$m=-3$

Prosta ta przechodzi przez punkt B=(10,5), więc jego współrzędne spełniają równanie prostej:

$y=-3x+n$

$5=-3\cdot 10+n$

$n=35$

Równanie prostej wyznaczonej przez punkty B i C ma postać:

$y=-3x+35$

Aby znaleźć punkt C, wystarczy znaleźć punkt przecięcia się prostych y=2x+3 i y=-3x+35. Rozwiązujemy więc układ równań:

$ \begin{cases}y=2x+3 \\ y=-3x+35\end{cases} $

Odejmując równania stronami:

$0=5x-32$

$x=\frac{32}{5}$

$y=\frac{32}{5}\cdot 2+3=\frac{79}{5}$

Odpowiedź

$C=(\frac{32}{5}, \frac{79}{5})$

Zadania podobne

Zadanie - wzajemne położenie prostych w układzie
Dana jest prosta o równaniu

. Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Dana jest prosta o równaniu $y=5x+\frac{1}{5}$ . Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt A(1,-1).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych
Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:
wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2015 (poziom podstawowy)
Prosta l o równaniu y=m²x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:

A. m=2
B. m=-2
C. $m=-2-2\sqrt{2}$
D. $m=-2+2\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2015 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach: y=2mx-m²-1 oraz y=4m²x+m²+1 są prostopadłe dla:

A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 17, matura 2019

Proste o równaniach y=(2m+2)x−2019 oraz y=(3m−3)x+2019 są równoległe, gdy

A. m=-1

B. m=0

C. m=1

D. m=5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2019

Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=− 4x+1 i przechodzi
przez punkt P=(1/2,0), gdy

A. a=-4 i b=-2

B. a=1/4 i b=-1/8

C. a=-4 i b=2

D. a=1/4 i b=1/2

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.