Zadanie maturalne nr 32, matura 2018


W układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzimy najpierw rysunek poglądowy:

rysunek

Znajdziemy równanie prostej, która przechodzi przez punkty A i B. Ich współrzędne spełniają równanie tej prostej y=ax+b.

\( A=(4,3), B=(10,5)\)

\( y-ax+b\)

\( \begin{cases}3=4a+b \\ 5=10a+b\end{cases} \)

Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymamy:

\(2=6a/:6\)

\(a=\frac{1}{3}\)

\(b=\frac{5}{3}\)

\(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)

Znajdziemy teraz równanie prostej y=mx+n, która wyznacza trójkąt prostokątny ABC, taki, że kąt ABC jest kątem prostym. Prosta ta jest prostopadła do prostej wyznaczonej przez punkty A i B. Zatem współczynnik kierunkowy tej prostej jest przeciwny i odwrotny do wyznaczonego.

\(m=-\frac{1}{a}\)

\(m=-\frac{1}{\frac{1}{3}}\)

\(m=-3\)

Prosta ta przechodzi przez punkt B=(10,5), więc jego współrzędne spełniają równanie prostej:

\(y=-3x+n\)

\(5=-3\cdot 10+n\)

\(n=35\)

Równanie prostej wyznaczonej przez punkty B i C ma postać:

\(y=-3x+35\)

Aby znaleźć punkt C, wystarczy znaleźć punkt przecięcia się prostych y=2x+3 i y=-3x+35. Rozwiązujemy więc układ równań:

\( \begin{cases}y=2x+3 \\ y=-3x+35\end{cases} \)

Odejmując równania stronami:

\(0=5x-32\)

\(x=\frac{32}{5}\)

\(y=\frac{32}{5}\cdot 2+3=\frac{79}{5}\)

ksiązki Odpowiedź

\(C=(\frac{32}{5}, \frac{79}{5})\)

© medianauka.pl, 2023-01-08, ZAD-4623

Zadania podobne

kulkaZadanie - wzajemne położenie prostych w układzie
Dana jest prosta o równaniu y=-7x+5. Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Dana jest prosta o równaniu y=5x+\frac{1}{5}. Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt A(1,-1).

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzajemne położenie prostych
Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.
równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:
wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 20, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste opisane równaniami y=\frac{2}{m-1}x+m-2 oraz y=mx+\frac{1}{m+1} są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 18, matura 2015 (poziom podstawowy)
Prosta l o równaniu y=m2x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:

A. m=2
B. m=-2
C. m=-2-2\sqrt{2}
D. m=-2+2\sqrt{2}


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 19, matura 2015 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach: y=2mx-m2-1 oraz y=4m2x+m2+1 są prostopadłe dla:

A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. \frac{\sqrt{5}}{5}
B. \frac{4\sqrt{5}}{5}
C. \frac{4}{5}
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 17, matura 2019

Proste o równaniach y=(2m+2)x−2019 oraz y=(3m−3)x+2019 są równoległe, gdy

A. m=-1

B. m=0

C. m=1

D. m=5



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 18, matura 2019

Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=− 4x+1 i przechodzi
przez punkt P=(1/2,0), gdy

A. a=-4 i b=-2

B. a=1/4 i b=-1/8

C. a=-4 i b=2

D. a=1/4 i b=1/2



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.