Zadanie maturalne nr 32, matura 2018
W układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.
Rozwiązanie zadania
Sporządzimy najpierw rysunek poglądowy:
Znajdziemy równanie prostej, która przechodzi przez punkty A i B. Ich współrzędne spełniają równanie tej prostej y=ax+b.
\( A=(4,3), B=(10,5)\)
\( y-ax+b\)
\( \begin{cases}3=4a+b \\ 5=10a+b\end{cases} \)
Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymamy:
\(2=6a/:6\)
\(a=\frac{1}{3}\)
\(b=\frac{5}{3}\)
\(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)
Znajdziemy teraz równanie prostej y=mx+n, która wyznacza trójkąt prostokątny ABC, taki, że kąt ABC jest kątem prostym. Prosta ta jest prostopadła do prostej wyznaczonej przez punkty A i B. Zatem współczynnik kierunkowy tej prostej jest przeciwny i odwrotny do wyznaczonego.
\(m=-\frac{1}{a}\)
\(m=-\frac{1}{\frac{1}{3}}\)
\(m=-3\)
Prosta ta przechodzi przez punkt B=(10,5), więc jego współrzędne spełniają równanie prostej:
\(y=-3x+n\)
\(5=-3\cdot 10+n\)
\(n=35\)
Równanie prostej wyznaczonej przez punkty B i C ma postać:
\(y=-3x+35\)
Aby znaleźć punkt C, wystarczy znaleźć punkt przecięcia się prostych y=2x+3 i y=-3x+35. Rozwiązujemy więc układ równań:
\( \begin{cases}y=2x+3 \\ y=-3x+35\end{cases} \)
Odejmując równania stronami:
\(0=5x-32\)
\(x=\frac{32}{5}\)
\(y=\frac{32}{5}\cdot 2+3=\frac{79}{5}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-08, ZAD-4623
Zadania podobne

Dana jest prosta o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Dana jest prosta o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).
Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:

Pokaż rozwiązanie zadania

Proste opisane równaniami


A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2
Pokaż rozwiązanie zadania

Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

Prosta l o równaniu y=m2x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:
A. m=2
B. m=-2
C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Proste o równaniach: y=2mx-m2-1 oraz y=4m2x+m2+1 są prostopadłe dla:
A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2
Pokaż rozwiązanie zadania

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa
A.

B.

C.

D. 4
Pokaż rozwiązanie zadania

Proste o równaniach y=(2m+2)x−2019 oraz y=(3m−3)x+2019 są równoległe, gdy
A. m=-1
B. m=0
C. m=1
D. m=5
Pokaż rozwiązanie zadania

Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=− 4x+1 i przechodzi
przez punkt P=(1/2,0), gdy
A. a=-4 i b=-2
B. a=1/4 i b=-1/8
C. a=-4 i b=2
D. a=1/4 i b=1/2
Pokaż rozwiązanie zadania