Nauka » Matematyka » Wzajemne położenie prostych

Zadanie - wzajemne położenie prostych

Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Bok AB:
$A(2,0), B(4,2)\\ y=ax+b\\ \underline{_-\begin{cases}0=2a+b\\ 2=4a+b\end{cases}}\\ -2=-2a/:2\\ a=1 \\ 0=2a+b\\ 0=2\cdot1+b\\ b=-2\\ y=x-2$

2) Bok CD:
$y=a_1x+b_1\\ a_1=1\\ y=x+b_1\\ D(0,2)\\ 2=0+b_1\\ b_1=2\\ y=x+2$

3) Bok BC:
$y=a_2x+b_2\\ a_2=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_2\\ B(4,2)\\ 2=-1\cdot 4+b_2\\ b_2=6\\ y=-x+6$

4) Bok AD:
$y=a_3x+b_3\\ a_3=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_3\\ A(2,0)\\ 0=-1\cdot 2+b_3\\ b_3=2\\ y=-x+2$

Odp:
$y=-x+2 \\ y=-x+6\\ y=x+2\\ y=x-2$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Znajdziemy najpierw równanie prostej zawierającej bok AB. Odczytujemy współrzędne tych punktów (dzięki temu, że wiemy, że są to liczby całkowite nie musimy używać przybliżeń), następnie wstawiamy współrzędne tych punktów kolejno do ogólnego równania prostej y=ax+b i wyznaczamy współczynniki a oraz b:

$A(2,0), B(4,2)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}0=a\cdot 2+b\\ 2=a\cdot 4+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}0=2a+b\\ 2=4a+b\end{cases}}\\ -2=-2a\\ 2a=2/:2\\a=1 \\ 0=2a+b\\ 0=2\cdot1+b\\ b=-2\\ y=x-2$ tło

Teraz wystarczy skorzystać z własności położenia prostych na płaszczyźnie, pamiętając że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe prostych, a proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające warunek:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Znajdziemy teraz prostą równoległą do y=x-2, która zawiera bok CD. Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₁x+b₁. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być sobie równe, a więc są równe liczbie 1. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu C lub D do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₁:

$y=a_1x+b_1\\ a_1=1\\ y=x+b_1\\ D(0,2)\\ 2=0+b_1\\ b_1=2\\ y=x+2$

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do y=x-2, która zawiera bok BC. Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₂x+b₂. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie -1. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu B lub C do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₂:

$y=a_2x+b_2\\ a_2=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_2\\ B(4,2)\\ 2=-1\cdot 4+b_2\\ b_2=6\\ y=-x+6$

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do y=x-2, która zawiera bok AD. Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₃x+b₃. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie -1. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu A lub D do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₃:

$y=a_3x+b_3\\ a_3=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_3\\ A(2,0)\\ 0=-1\cdot 2+b_3\\ b_3=2\\ y=-x+2$

Odpowiedź

$y=-x+2 \\ y=-x+6\\ y=x+2\\ y=x-2$

Zadania podobne

Zadanie - wzajemne położenie prostych w układzie
Dana jest prosta o równaniu

. Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Dana jest prosta o równaniu $y=5x+\frac{1}{5}$ . Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt A(1,-1).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:
wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2015 (poziom podstawowy)
Prosta l o równaniu y=m²x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:

A. m=2
B. m=-2
C. $m=-2-2\sqrt{2}$
D. $m=-2+2\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2015 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach: y=2mx-m²-1 oraz y=4m²x+m²+1 są prostopadłe dla:

A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania