Strona główna » Matematyka » Wzajemne położenie postych na płaszczyźnie

Zadanie - wzajemne położenie prostych

Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Bok AB:
$A(2,0), B(4,2)\\ y=ax+b\\ \underline{_-\begin{cases}0=2a+b\\ 2=4a+b\end{cases}}\\ -2=-2a/:2\\ a=1 \\ 0=2a+b\\ 0=2\cdot1+b\\ b=-2\\ y=x-2$

2) Bok CD:
$y=a_1x+b_1\\ a_1=1\\ y=x+b_1\\ D(0,2)\\ 2=0+b_1\\ b_1=2\\ y=x+2$

3) Bok BC:
$y=a_2x+b_2\\ a_2=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_2\\ B(4,2)\\ 2=-1\cdot 4+b_2\\ b_2=6\\ y=-x+6$

4) Bok AD:
$y=a_3x+b_3\\ a_3=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_3\\ A(2,0)\\ 0=-1\cdot 2+b_3\\ b_3=2\\ y=-x+2$

Odp:
$y=-x+2 \\ y=-x+6\\ y=x+2\\ y=x-2$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Znajdziemy najpierw równanie prostej zawierającej bok AB. Odczytujemy współrzędne tych punktów (dzięki temu, że wiemy, że są to liczby całkowite nie musimy używać przybliżeń), następnie wstawiamy współrzędne tych punktów kolejno do ogólnego równania prostej y=ax+b i wyznaczamy współczynniki a oraz b:

$A(2,0), B(4,2)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}0=a\cdot 2+b\\ 2=a\cdot 4+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}0=2a+b\\ 2=4a+b\end{cases}}\\ -2=-2a\\ 2a=2/:2\\a=1 \\ 0=2a+b\\ 0=2\cdot1+b\\ b=-2\\ y=x-2$ tło

Teraz wystarczy skorzystać z własności położenia prostych na płaszczyźnie, pamiętając że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe prostych, a proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające warunek:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Znajdziemy teraz prostą równoległą do y=x-2, która zawiera bok CD. Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₁x+b₁. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być sobie równe, a więc są równe liczbie 1. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu C lub D do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₁:

$y=a_1x+b_1\\ a_1=1\\ y=x+b_1\\ D(0,2)\\ 2=0+b_1\\ b_1=2\\ y=x+2$

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do y=x-2, która zawiera bok BC. Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₂x+b₂. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie -1. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu B lub C do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₂:

$y=a_2x+b_2\\ a_2=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_2\\ B(4,2)\\ 2=-1\cdot 4+b_2\\ b_2=6\\ y=-x+6$

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do y=x-2, która zawiera bok AD. Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₃x+b₃. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie -1. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu A lub D do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₃:

$y=a_3x+b_3\\ a_3=-\frac{1}{1}=-1\\ y=-x+b_3\\ A(2,0)\\ 0=-1\cdot 2+b_3\\ b_3=2\\ y=-x+2$