Proporcjonalność prosta

Szczególnym przypadkiem funkcji liniowej, w którym wyraz wolny jest równy zeru jest proporcjonalność prosta. Proporcjonalność prosta wyraża się zatem wzorem:

$y=kx,\quad{k}\neq{0}$

Liczbę k nazywamy współczynnikiem proporcjonalności prostej.

Wykresem proporcjonalności prostej jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych.

Na poniższym rysunku pokazano wykres proporcjonalności prostej y=3x

Z proporcjonalności prostej wynika, że $\frac{y}{x}=k=const$ .
Zapis const oznacza stałą liczbę (jest to skrót od słowa constans)

Oznacza to, że iloraz wartości funkcji i argumentu nie zmienia się, jest stały. Mówimy, że y jest wprost proporcjonalny do x.

Przykład

Długość przekątnej w kwadracie jest równa $l=a\sqrt{2}$ . Możemy powiedzieć, że długość przekątnej w kwadracie jest wprost proporcjonalna do długości boku kwadratu. Pierwiastek z liczby 2 jest tutaj współczynnikiem proporcjonalności prostej. Ilekroć zmienimy długość boku, to zawsze iloraz długości przekątnej i długości boku będzie taki sam, równy $\sqrt{2}$ .

Jeżeli nie znamy współczynnika proporcjonalności, proporcjonalność prostą możemy wyrazić za pomocą symbolu "~". Jeżeli napiszemy y ~ x, to oznacza, że wielkość y jest wprost proporcjonalna do wielkości x. Wówczas możemy użyć zapisu: $\frac{y}{x}=const$ i choć nie wiemy ile wynosi współczynnik proporcjonalności, to często wystarcza nam wiedza, że jest to wartość niezmienna

Z wielkościami proporcjonalnymi bardzo często mamy do czynienia w fizyce. Oto taki przykład:

Przykład

Prawo Ohma mówi, że natężenie prądu stałego I jest proporcjonalne do napięcia elektrycznego U między końcami części obwodu nie zawierającej źródeł siły elektromotorycznej. Możemy to zapisać w następujący sposób: I~U. Jest to przykład prawa odkrytego doświadczalnie. Mierząc napięcie U i natężenie prądu I w stałej temperaturze w prostym obwodzie elektrycznym okazuje się, że iloraz $\frac{U}{I}=const=R$ jest stały, stałą tę nazwano oporem elektrycznym. Jeżeli zwiększymy napięcie elektryczne w obwodzie elektrycznym, to wiemy o ile zwiększy się natężenie prądu elektrycznego.

W życiu codziennym bardzo często korzystamy z proporcjonalności prostej. Oto kilka przykładów:

Przykład

Jacek w ciągu godziny zarobił 3,50 zł. Ile zarobi w ciągu 8 godzin?

Zarobek jest proporcjonalny do czasu pracy. Korzystamy więc z proporcjonalności prostej. Warto ułożyć pewien schemat:

8 h - x zł
1 h - 3,5 zł

Wiemy, że iloraz tych wielkości nie zmienia się, więc: $\frac{8}{1}=\frac{x}{3,4}$ . Najczęściej od razu mnożymy te liczby "na krzyż" i otrzymujemy wynik $x=3,5\cdot{8}=28$
Odpowiedź: Jacek w ciągu 8 godzin zarobi 28 zł.