Proporcjonalność prosta

Szczególnym przypadkiem funkcji liniowej, w którym wyraz wolny jest równy zeru jest proporcjonalność prosta. Proporcjonalność prosta wyraża się zatem wzorem:

$y=kx,\quad{k}\neq{0}$

Liczbę k nazywamy współczynnikiem proporcjonalności prostej.

Wykres proporcjonalności prostej

Wykresem proporcjonalności prostej jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych.

Na poniższym rysunku pokazano wykres proporcjonalności prostej y=3x

Z proporcjonalności prostej wynika, że $\frac{y}{x}=k=const$ .
Zapis const oznacza stałą liczbę (jest to skrót od słowa constans)

Oznacza to, że iloraz wartości funkcji i argumentu nie zmienia się, jest stały. Mówimy, że y jest wprost proporcjonalny do x.

Przykłady

Przykład

Długość przekątnej w kwadracie jest równa $l=a\sqrt{2}$ . Możemy powiedzieć, że długość przekątnej w kwadracie jest wprost proporcjonalna do długości boku kwadratu. Pierwiastek z liczby 2 jest tutaj współczynnikiem proporcjonalności prostej. Ilekroć zmienimy długość boku, to zawsze iloraz długości przekątnej i długości boku będzie taki sam, równy $\sqrt{2}$ .

Jeżeli nie znamy współczynnika proporcjonalności, proporcjonalność prostą możemy wyrazić za pomocą symbolu "~". Jeżeli napiszemy y ~ x, to oznacza, że wielkość y jest wprost proporcjonalna do wielkości x. Wówczas możemy użyć zapisu: $\frac{y}{x}=const$ i choć nie wiemy ile wynosi współczynnik proporcjonalności, to często wystarcza nam wiedza, że jest to wartość niezmienna

Z wielkościami proporcjonalnymi bardzo często mamy do czynienia w fizyce. Oto taki przykład:

Przykład

Prawo Ohma mówi, że natężenie prądu stałego I jest proporcjonalne do napięcia elektrycznego U między końcami części obwodu nie zawierającej źródeł siły elektromotorycznej. Możemy to zapisać w następujący sposób: I~U. Jest to przykład prawa odkrytego doświadczalnie. Mierząc napięcie U i natężenie prądu I w stałej temperaturze w prostym obwodzie elektrycznym okazuje się, że iloraz $\frac{U}{I}=const=R$ jest stały, stałą tę nazwano oporem elektrycznym. Jeżeli zwiększymy napięcie elektryczne w obwodzie elektrycznym, to wiemy o ile zwiększy się natężenie prądu elektrycznego.

W życiu codziennym bardzo często korzystamy z proporcjonalności prostej. Oto kilka przykładów:

Przykład

Jacek w ciągu godziny zarobił 3,40 zł. Ile zarobi w ciągu 8 godzin?

Zarobek jest proporcjonalny do czasu pracy. Korzystamy więc z proporcjonalności prostej. Warto ułożyć pewien schemat:

8 h - x zł
1 h - 3,4 zł

Wiemy, że iloraz tych wielkości nie zmienia się, więc: $\frac{8}{1}=\frac{x}{3,4}$ . Najczęściej od razu mnożymy te liczby "na krzyż" i otrzymujemy wynik x=3,4·8=27,2.
Odpowiedź: Jacek w ciągu 8 godzin zarobi 27,2 zł.

Zadanie

W ciągu jednej godziny piechur przebywa drogę 5 km. Ile czasu zajmie mu przebycie 12 km?

Układamy proporcję:

x h - 12 km
1 h - 5 km

$\frac{x}{1}=\frac{12}{5}\\{x=2,4}$

Piechur potrzebuje 2,4 godziny na przebycie drogi 12 km. Ile to jest minut? Tutaj również możemy skorzystać z proporcjonalności prostej.

x min - 2,4 h
60 min - 1 h

$\frac{x}{60}=\frac{2,4}{1}\\{x=144}$

Odpowiedź: Piechur potrzebuje 144 minut na przebycie drogi 12 km.

Pytania

Co to jest proporcjonalność odwrotna?

Proporcjonalność odwrotna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej. O proporcjonalności odwrotnej piszemy tutaj.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Proporcjonalność prosta

Zadanie - proporcjonalność prosta
Średnio tygodniowo autor pewnego bloga zarabia na wyświetlaniu reklam na swojej stronie 20 zł. Jakiego zysku może się spodziewać po roku prowadzenia strony?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - proporcjonalność prosta
Babcia w ciągu godziny potrafi wydziergać 20 cm szalika. Ile czasu potrwa wydzierganie całego szalika o długości półtora metra?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - proporcjonalność prosta
Sekretarka potrafi napisać średnio 50 słów w ciągu jednej minuty na komputerze. Jak długo potrwa ręczne przepisanie książki o objętości 240 stron, jeżeli wiadomo, że średnio jedna strona maszynopisu zawiera 250 słów, a sekretarka jest jednego dnia w stanie pisać bez przerwy przez 5 godzin?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - proporcjonalność prosta
Śnieg padał jednostajnie przez 6,5 h. Spadło 19,5 cm śniegu. Ile śniegu spadło w ciągu jednej godziny?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - proporcjonalność prosta
Jeden pracownik składa 500 długopisów w ciągu ośmiu godzin pracy. Ilu pracowników trzeba zatrudnić, aby wykonać zlecenie złożenia 10 000 długopisów w ciągu pięciu dni?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - proporcjonalność prosta - wykres
Wykres ilustruje zależność zaoszczędzonych środków na lokacie od czasu oszczędzania.

Ile pieniędzy zaoszczędzono po 3 latach oszczędzania?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - proporcjonalność prosta
Podczas ostatniego tankowania kierowca wyzerował licznik, przejechał 654 kilometry i zatankował do pełna. Do baku zmieściło się 34,5 l benzyny. Ile litrów na sto kilometrów spala silnik tego samochodu?

Pokaż rozwiązanie zadania

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.