Strona główna » Matematyka » Proporcjonalność prosta

Zadanie - proporcjonalność prosta

Sekretarka potrafi napisać średnio 50 słów w ciągu jednej minuty na komputerze. Jak długo potrwa ręczne przepisanie książki o objętości 240 stron, jeżeli wiadomo, że średnio jedna strona maszynopisu zawiera 250 słów, a sekretarka jest jednego dnia w stanie pisać bez przerwy przez 5 godzin?

Rozwiązanie zadania uproszczone

1 strona	-	250 wyrazów
240 stron	-	x wyrazów

$x=240\cdot 250 \\ x=60000$
Średnio książka o objętości 240 stron zawiera 60 000 wyrazów

50 słów	-	1 min
60 000 słów	-	x min

$50x=1\cdot 60000/:50 \\ x=1200$
Przepisanie książki zajmie sekretarce 1200 minut = 20 h

1 dzień	-	5 h
x dni	-	20 h

$5x=20/:5 \\ x=4$
Przepisanie książki potrwa 4 dni.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia ze złożonym zagadnieniem, rozbijemy więc zadanie na kilka części. Policzymy najpierw ile wyrazów średnio liczy książka o objętości 240 stron. Układamy proporcję:

1 strona	-	250 wyrazów
240 stron	-	x wyrazów

Zakładamy tutaj, że liczba wyrazów jest proporcjonalna do liczby stron. Iloraz tych wielkości zatem nie zmienia się (wiemy to na podstawie określenia proporcjonalności prostej), możemy więc zapisać:

$\frac{1}{240}=\frac{250}{x}$

a najlepiej od razu pomnożyć te liczby "na krzyż":

$x=240\cdot 250 \\ x=60000$

Wiemy więc, że średnio książka o objętości 240 stron zawiera 60 000 wyrazów

Policzymy teraz ile czasu zajmie sekretarce przepisanie 60 000 wyrazów, wiemy bowiem jak długo przepisuje 50 słów. Ponownie układamy proporcję:

50 słów	-	1 min
60 000 słów	-	x min

Zakładamy tutaj, że liczba napisanych wyrazów jest proporcjonalna do czasu ich pisania. Iloraz tych wielkości zatem nie zmienia się (wiemy to na podstawie określenia proporcjonalności prostej), możemy więc zapisać:

$\frac{50}{60000}=\frac{1}{x}$

a najlepiej od razu pomnożyć te liczby "na krzyż":

$50x=1\cdot 60000/:50 \\ x=1200$

Wiemy więc, że przepisanie książki zajmie sekretarce 1200 minut. Ponieważ 1 h = 60 minut:

$1200 min=\frac{1200}{60} h=20 h$

Jeżeli nie wiesz skąd wziął się ten wynik, to można było tutaj również zastosować proporcję:

1 h	-	60 min
x h	-	1200 min

$60x=1200/:60 \\ x=20$

Wiemy ponadto, że sekretarka potrafi w jednym dniu pracować bez przerwy tylko 5 godzin. Możemy więc policzyć od razu ile dni zajmie praca nad przepisaniem książki albo kolejny raz zastosować proporcję: