Pomocniczy układ współrzędnych
W celu ułatwienia sobie sporządzania wykresu można wprowadzać pomocniczy układ współrzędnych, poprzez umieszczenie jego środka w punkcie \(O_1(p,q)\).
Jeżeli współrzędne dowolnego punktu we właściwym układzie współrzędnym \(XOY\) oznaczymy przez \((x,y)\), a w układzie pomocniczym \(X_1O_1Y_1\) współrzędne tego samego punktu przez \((x_1,y_1)\), to między tymi współrzędnymi zachodzi związek:
\(x=p+x_1\)
\(y=q+y_2\)
Wzór funkcji \(y=f(x)\) w nowym układzie współrzędnych przyjmuje postać: \(y_1= f(x_1)\).
Przykład
Naszkicujmy wykres funkcji \(f(x)=x^2-2x+3\), wykorzystując pomocniczy układ współrzędnych.
Funkcję tę przekształcamy jak poniżej:
\(y=(x^2-2x+1)+2\)
\(y-2=(x-1)^2\)
Kiedy wprowadzimy nowy układ współrzędnych o środku w punkcie \((1,2)\), między współrzędnymi zachodzi zależność:
\(x = x_1+ 1\)
\(y = y_1+2\)
Kiedy podstawimy tę zależność do naszego wzoru funkcji, otrzymamy wzór funkcji w pomocniczym układzie współrzędnych.
\(y_1+2-2=(x_1+1-1)^2\)
\(y_1=x_1^2\)
Wystarczy więc teraz narysować pomocniczy układ współrzędnych w punkcie \((1,2)\) i wykreślić w nim wykres funkcji \(y_1=x_1^2\)
Warto zwrócić uwagę, że ta sama krzywa może być opisana przez różne funkcje w różnych układach współrzędnych. Poniżej kilka przykładów stosowania pomocniczych układów współrzędnych:
Przykłady
- Aby sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{1}{x-1}+2\), wystarczy w układzie pomocniczym o środku \(O_1(1,2)\) sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\).
- Aby sporządzić wykres funkcji \(y=3+sin(x-\frac{\pi}{5})\), wystarczy w układzie pomocniczym o środku \(O_1= (\frac{\pi}{5},3)\) sporządzić wykres funkcji \(y=\sin{x}\).
- Aby sporządzić wykres funkcji \(y=\sqrt{x+\sqrt{2}}\), wystarczy w układzie pomocniczym o środku \(O_1 = (-\sqrt{2},0)\) sporządzić wykres funkcji \(y=\sqrt{x}\).
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Sporządzić wykres funkcji
a) \(y+2=\frac{1}{x+3}\)
b) \(y=2+\cos{(x+1)}\)
wykorzystując pomocniczy układ współrzędnych.
Powiązane materiały
Układ współrzędnych
Wykres funkcji
Przesunięcie wykresu funkcji
Wykres funkcji jednej zmiennej© medianauka.pl, 2009-05-24, A-217
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-08