Pomocniczy układ współrzędnych

W celu ułatwienia sobie sporządzania wykresu można wprowadzać pomocniczy układ współrzędnych, poprzez umieszczenie jego środka w punkcie O₁(p,q).
Jeżeli współrzędne dowolnego punktu we właściwym układzie współrzędnym XOY oznaczymy przez (x,y), a w układzie pomocniczym X₁O₁Y₁ współrzędne tego samego punktu przez (x₁,y₁), to między tymi współrzędnymi zachodzi związek:

x = p + x₁
y = q + y₁

Wzór funkcji y=f(x) w nowym układzie współrzędnych przyjmuje postać: y₁ = f(x₁)

Przykład

Naszkicujmy wykres funkcji wykorzystując pomocniczy układ współrzędnych.
Funkcję tę przekształcamy jak poniżej:

${y=(x^2-2x+1)+2}\\y-2=(x-1)^2$

Kiedy wprowadzimy nowy układ współrzędnych o środku w punkcie (1,2) między współrzędnymi zachodzi zależność:

x = x₁ + 1
y = y₁+2

Kiedy podstawimy tę zależność do naszego wzoru funkcji, otrzymamy wzór funkcji w pomocniczym układzie współrzędnych.

${y_1+2-2=(x_1+1-1)^2}\\y_1=x_1^2$

Wystarczy więc teraz narysować pomocniczy układ współrzędnych w punkcie (1,2) i wykreślić w nim wykres funkcji

wykres funkcji w pomiocniczym układzie współrzędnych

Warto zwrócić uwagę, że ta sama krzywa może być opisana przez różne funkcje w różnych układach współrzędnych. Poniżej kilka przykładów stosowania pomocniczych układów współrzędnych:

Przykład

1) Aby sporządzić wykres funkcji $y=\frac{1}{x-1}+2$ wystarczy w układzie pomocniczym o środku O₁(1,2) sporządzić wykres funkcji $y=\frac{1}{x}$

2) Aby sporządzić wykres funkcji $y=\3+sin(x-\frac{\pi}{5})$ wystarczy w układzie pomocniczym o środku O₁ $(\frac{\pi}{5},3)$ sporządzić wykres funkcji $y=\sin{x}$

3) Aby sporządzić wykres funkcji $y=\sqrt{x+\sqrt{2}}$ wystarczy w układzie pomocniczym o środku O₁ $(-\sqrt{2},0)$ sporządzić wykres funkcji $y=\sqrt{x}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Pomocniczy układ współrzędnych

Zadanie - pomocniczy układ współrzędnych
Sporządzić wykres funkcji
a) $y+2=\frac{1}{x+3}$
b) $y=2+\cos{(x+1)}$
wykorzystując pomocniczy układ współrzędnych.